拉格朗日中值定理的应用论文论文题目拉格朗日中值定理姓名学号所在学院年级专业完成时间年月日拉格朗日中值定理的应用摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。

中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。

总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。

而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。

关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛Applications of Lagrange's mean value theoremAbstract：A group of mean value theorem which includes Rolle's mean value theorem ,Lagrange's mean value theorem and Cauchy's mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagrange's mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems' main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point，and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagrange's mean value theorem's way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Convergence目录引言： (1)一、拉格朗日中值定理及其证明 (2)1.定理内容： (2)2.几何意义： (2)3.定理证明： (2)二、拉格朗日中值定理的应用 (3)1.利用拉格朗日中值定理证明不等式 (3)2.利用拉格朗日中值定理证明等式（包含恒等式和等式） (4)3.利用拉格朗日中值定理求极限 (4)4.利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性 (5)5.利用拉格朗日中值定理估值 (5)6.利用拉格朗日中值定理研究函数性态 (6)7.利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.. 7三、结论 (8)引言：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理,所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下：特例 推广以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。

因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。

中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、拐点、取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。

总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，这是十分必要的。

罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理泰勒公式一、拉格朗日中值定理及其证明1.定理内容：若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --=ζ'。

2.几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB 。

如图3.定理证明：（1）教材证法从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理（如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf ）。

换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。

所以，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.证明：作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=ab a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. （2）用作差法引入辅助函数法 证明：作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x ϕ， 显然，函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ϕϕ。

因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ab a f b f f ζζϕ，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 二、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求极限、证明级数收敛、研究函数在区间上的性质、估值等问题。

1.利用拉格朗日中值定理证明不等式例1当x ≥0时，证明xx +1≤()x x ≤+1ln 。

证明：做辅助函数()()t t f +=1ln 。

函数f ()t 在定义域()∞+，1-上可导，故对于x ∀>0,有()()t t f +=1ln 在闭区间 []x ，0上连续，在开区间()x ，0上可导。

则至少存在一点()x ，0∈ξ，使得()()0f x f -=()ξf '()0-x =ξ+1x ,而()00=f ，()ξ+=∴1x x f 。

当x >0时，有ξ+≤+11x x x x ≤，即x x x x ≤+≤+ξ11，又当0=x 时，有()x x f x x ==+1， 所以x x +1≤()x x ≤+1ln 得证。

对于证明不等式， 关键怎样构造函数， 其后巧用拉格朗日中值定理， 画龙点睛恰到好处。

2.利用拉格朗日中值定理证明等式（包含恒等式和等式）例 2证明 212arct arccos (1)214x gx x x π-=≥+恒等。

证明：令212()arct arccos (1)214x x gx x x πΦ=-=≥+， 则在(1)x ≥时22arccos1x x +有意义，且2211'()12x x Φ=++ 222222112(1)=011(1)x x x x x +-=+-+g g 。

在1x >时，()x c Φ=（为常数）。

又取(1,)+∞13264πππΦ=-=， 且(1)044ππΦ=-=，所以端点值也成立，有推论212arct arccos (1)214x gx x x π-=≥+恒等。

由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点12,x x ，（不妨设12x x <）有2121()()'()()f x f x f x x ε-=-。

那么若'()f x 恒为0，则有'()0f ε=，所以21()()f x f x =，由12,x x 的任意性可知，()f x 在定义域内函数值恒等。