案例3案例直角3 直坐角标坐系标系
教学设计
引入 • 笛卡儿的故事 探究 • 如何表示天花板上的苍蝇的位置？
形成 • 直角坐标的概念
巩固 • 在直角坐标系中求点的坐标
小结 • 直角坐标系的意义
案例 3 直角坐标系
• 复习旧知：数轴的三要素；
缪斯女神把这光芒馈赠
• 笛卡儿的故事；从那天起，当它们臆测
•内容与课程知识（KCC） 直角坐标系的历史 •内容与学生知识（KCS） 从一维到二维的困境 •内容与教学知识（KCT） 借鉴坐标概念的历史来设计 教学 •水平内容知识（HCK） 直角坐标系与数轴的联系
案例4 案函例4数函的数概的念概念 函数概念的历史
案例4 函数的概念
引入 师：关于函数概念，同学们并不陌生。现在，请大家回 忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？
4
4+13
4+23
4+33
生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3
案例1 用字母表示数
学生
教师
•知识之谐 经历从字母表示未知数到字母 表示任意数的自然过程 •探究之乐 积累数学活动经验 •文化之魅 字母表示数的历史 •德育之效 数学思想发展的曲折与艰辛
•内容与课程知识（KCC） 字母表示数的历史 •内容与学生知识（KCS） 从字母表示未知数到字母表 示任意数的困难 •内容与教学知识（KCT） 借鉴代数学的历史来设计教 学
案例4 函数的概念
例2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。
课前的问卷调查表明：161人中有 65 人 认 为 它 不 是 函 数 关 系 ， 占 比 40.37%。理由是： • y 不随 x 的变化而变化； • 没有 y 与 x 的关系式； • x 与 y 之间没有关系； • y没有依赖 x 的变化而改变，
A. de Morgan (1806-1871)
案例4 函数的概念
李善兰的译文：“凡式中含天， 为天之函数。”这便是中文 “函数”名称的由来。
案例4 函数的概念
概念生成 ➢ 从“解析式”到“变量依赖关系”
例1(课本)：表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世界纪录 创立的时间和成就，请思考： （1）统计表中有哪几个变量？是什么？ （2）当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出 成绩随时间变化的关系式吗？
案例2 案反例2比反例比函例数函数
• 引入 《太上感应篇》“入重 出轻”的故事。
案例2 反比例函数
• 新课探究
a和n不变, b和m之间的正比例关系
数据
a(cm)
n(g)
b(cm)
m(g)
第1次
8
100
4
50
第2次
8
100
12
150
第3次
8
100
16
200
A a O bB
m n
案例2 反比例函数
案例4 函数的概念
• 欧拉的新定义（1755）：
如果某个量依赖于另一个量， 当后面这个量变化时，前面这 个量也随之变化，则前面这个 量称为后面这个量的函数。
——《微分学基础》 L. Euler (1707 – 1783)
案例4 函数的概念
➢ 从“变量依赖关系”到“变量对应关系” 师：初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等， 在这些函数中，变量 y 与 x 之间就有明确的依赖关系。 但是，利用“依赖关系”来刻画函数，是否尽善尽美 了呢？ 例2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。
案例4 函数的概念
师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初 中所学的函数概念呢？ 生：如果在某个变化的过程中有两个变量 x 和 y，对 于某个实数集合 D 内的每一个确定的 x， y 都有唯一 确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数，x 叫做自 变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和 x 对应的 y 的值叫做函数值。 师：非常好！这正是德国数学家狄利克雷于1837年提 出的函数定义。
a和m不变, b和n之间的反比例关系
数据
a(cm)
m(g)
b(cm)
n(g)
第1次
8
100
16
50
第2次
8
100
8
100
第3次
8
100
4
200
总结：当n增加时，b却减少， b随 n的增加而减小。且满足bn = am = 非零常数，b与n成反比例。
A a O bB
m n
案例2 反比例函数
• 概念形成
内容与学生
知识（知 KC识S）
专门内容 知识
（SCK）
内容与教学 知识
（KCT）
能力
内容与课程 知识
（KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
背景
HPM课例的设计、实施和评价
数学史融入中学数学教学的实践与案例
背景
概念与思想 公式与定理 问题与求解
结语
案例1 案用例1字用母字表母示表数示数
教学设计
案例4 函数的概念
师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2 呢？ 生：对每一个x的值，都有y的值与之对应。 师：我们还发现，对于变量x的每一个值，y都有唯一 的值与之对应，说明我们同样可以从对应的角度来理 解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析，同学们 能否提炼并概括一下这些关系的共同特征？ 生：以上函数关系中，对变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一确定的值与之对应。
2x 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144
x 19
20
21
22
23
24
2x 524288
x
25
2x
26
27
28
29
134217728 268435456 536870912
案例4 函数的概念
• 狄利克雷的现代定义（1837）：
设 a、b 是两个确定的值，x 是可取 a、b 之间一切值的
变量。如果对于每一个 x， 有唯一有限的 y 值与它对应, 当x连续变化时，y 也随之变 化那么 y 叫做 x 的函数。
L. Dirichlet（1805-1859）
案例4 函数的概念
案例4 函数的概念
案例5 案对例数5 的对数概的念概念
计算：
1 16 256 2 256 4096
3 4096 32768
案例5 对数的概念
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2x 2
4
8 16 32 64 128 256 512 1024
x 11 12 13 14
15
16
17
18
数学史融入中学数学教学的实践与案例
背景
概念与思想 公式与定理 问题与求解
结语
背景
• 如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何 实施数学学科德育，日益受到人们的关注。
• 国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、 情感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学 情感。
• 数学史与数学教育之间的关系（HPM）是今日数学教育 领域的热门课题。
男子100米栏世界纪录统计表 年份 1900 1908 1920 1936 1959 1973 1993 2006 成绩 15.4 15 14.8 14.2 13.2 13.1 12.91 12.88
案例4 函数的概念
问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该 图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之 间的关系能否用一个解析式来刻画呢？
总之有自变量、因 变量且一个 x 有且 仅有一个 y 的值与 其对应的式子
案例4 函数的概念
• 欧拉的函数定义(1748)：
一个变量的函数是由该变量 和一些数或常量以任何方式 组成的解析式。
——《无穷分析引论》 L. Euler (1707 – 1783)
案例4 函数的概念
• 德摩根《代数学》的定义(1837)： Any expression which contains x in any way is called a function of x.
• 问题1：苍蝇向右又爬一个5c真m理，揭如开何了面容
在地狱般的圈栏
表示它的位置？
暴发出一阵阵哀鸣
• 问题2：苍蝇向左爬5cm，如何
毕达哥拉斯要把祭礼行 百牛烤熟又切片 难表心中感激之情
表示它的位置？ 难阻真理发现者的暴行
毕氏让它们永不得安宁 它们瑟瑟颤抖着
绝望地闭上了眼睛
案例 3 直角坐标系
• 问题3：苍蝇向上爬5cm， 如何表示它的位置？ • 问题4：苍蝇向右爬3cm， 再向上5cm，如何表示它的 位置？
选材原则
• 趣味性 • 可学性 • 科学性 • 有效性 • 新颖性
运用方式
• 附加式 • 复制式 • 顺应式 • 重构式
效果评价
• 知识之谐 • 方法之美 • 探究之乐 • 能力之助 • 文化之魅 • 德育之效
背景
教师专业发展
学科内容知识
教学内容知识
一信般CK）
师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系可以用 一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现，我们把 它统称为“对应法则”。例如表1中，14.2与1936对应， 1973有唯一的13.1与之对应，这个表格就是一个对应 法则。那么同学们能否从这个角度来分析其他例子的 对应关系呢? 生：图2的沪指变化图像就是一种对应法则。 生：函数 y = 2x2，这个解析式就是一种对应法则。
定义：设b = y，n = x，则y = k/x。形如y =k/x（k为常数，且k
0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k 是比例系数。