高一数学必修一函数专题：周期性
【知识点一】：周期函数与周期
（Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。

（Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。

（Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。

例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。

第一题
第二题解答：第一题：周期：k T ⋅=2π，Z k ∈；最小正周期：2
π=T 。

第二题：周期：k T ⋅=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。

【知识点二】：周期定义式
（Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。

（Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ⋅+=，Z k ∈。

例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x 。

计算：)12(f 的值。

解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =⨯+=⇒，0)12(01110)0(0=⇒=-=-+=f e f 。

例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。

计算：2
11(f 的值。

解答：函数)(x f 的周期为2)2
1()2321()211(-=⨯+-=⇒f f f 。

函数)(x f 在R x ∈上是奇函数21()21
(f f -=-⇒，1111121221log )21(2
-=-+-=-⨯+=f 1)2
1(211(1)1(21()21(=-=⇒=--=-=-⇒f f f f 。

例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：2
2)(x x f x -=。

计算：)13(f 的值。

解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =⨯+=⇒。

函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=⇒f f ，2
1)1(21121)1(2)1(21-=⇒-=-=--=--f f ，2
1)1()13(-==⇒f f 。

【知识点三】：周期式
（Ⅰ）)()(a x f x f +=，周期为||a T =。

例题：根据函数关系式判断函数的周期。

①)3()(-=x f x f ②2
1
()(+=x f x f 解答：①)3()(-=x f x f ⇒)(x f 的周期：3=T 。

②21
()(+=x f x f ⇒)(x f 的周期：2
1=T 。

（Ⅱ）)()(b x f a x f +=+，周期为||b a T -=。

【推理】：假设：a t x a x t -=⇒+=；
)()(b x f a x f +=+，t a x =+，||))(()()()(a b T a b t f t f b a t f t f a t x -=⇒-+=⇒+-=⇒-=。

例题：根据函数关系式判断函数的周期。

①)3()1(-=-x f x f ②)
2()2(-=+x f x f 解答：①)3()1(-=-x f x f ⇒)(x f 的周期：2|2||31||)3(1|==+-=---=T 。

②)2()2(-=+x f x f ⇒)(x f 的周期：4|22||)2(2|=+=--=T 。

（Ⅲ）m a x f x f =++)()(，周期为|2|a T =。

【推理】：用a x +替换m a x f x f =++)()(中的x 得到：
m a x f a x f m a a x f a x f =+++⇒=++++)2()()()(；
m a x f x f =++)()(①
m a x f a x f =+++)2()(②
①-②得到：|2|)2()(0)2()(a T a x f x f a x f x f =⇒+=⇒=+-。

例题：根据函数关系式判断函数的周期。

①)
2()(+-=x f x f ②)1()1(+-=-x f x f ③1)()1(-=+-x f x f ④1
)3()(=-+x f x f 解答：①)2()(+-=x f x f ⇒=++⇒0)2()(x f x f )(x f 的周期：422=⨯=T 。

②)1()1(+-=-x f x f )(0)1()1(x f x f x f ⇒=++-⇒的周期：422|2|2|11|2=⨯=-⨯=--⨯=T 。

③1)()1(-=+-x f x f ⇒)(x f 的周期：212=⨯=T 。

④1)3()(=-+x f x f )(x f ⇒的周期：632=⨯=T 。

（Ⅳ）m a x f x f =+⋅)()(，周期为|2|a T =。

【推理】：用a x +替换m a x f x f =+⋅)()(中的x 得到：m a x f a x f m a a x f a x f =+⋅+⇒=++⋅+)2()()()(；
m a x f x f =+⋅)()(①
m a x f a x f =+⋅+)2()(②①/②得到：|2|)2()(1)
2()()2()()()(a T a x f x f a x f x f m m a x f a x f a x f x f =⇒+=⇒=+⇒=+⋅++⋅。

例题：根据函数关系式判断函数的周期。

①)3(2
)(--=x f x f ②)
2(1
)1(+=+x f x f ③3
)2()(=+x f x f ④2)3()1(=+-x f x f 解答：①)(2)3()()
3(2)(x f x f x f x f x f ⇒-=-⇒--=的周期：632=⨯=T 。

②)(1)2()1()2(1)1(x f x f x f x f x f ⇒=++⇒+=
+的周期：212|21|2=⨯=-⨯=T 。

③3)2()(=+x f x f )(x f ⇒的周期：422=⨯=T 。

④2)3()1(=+-x f x f )(x f ⇒的周期：842|4|2|31|2=⨯=-⨯=--⨯=T 。

（Ⅴ）)
(1)(1)(a x f a x f x f +-++=，周期为|4|a T =。

【推理】：用a x +替换)(1)(1)(a x f a x f x f +-++=
中的x 得到：)2(1)2(1)(1)(1)(a x f a x f a a x f a a x f a x f +-++=++-+++=+；把)2(1)2(1)(a x f a x f a x f +-++=+代入)
(1)(1)(a x f a x f x f +-++=得到：)2(1)2(1)2(1)2(1)]2(1[)2(1)2(1)2(1)2(1)2(11)2(1)
2(11)(a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f x f +--+-++++-=++-+-++++-=+-++-+-+++=|4|1)2()()
2(1)()2(1)2(22a T a x f x f a x f x f a x f a x f =⇒-=+⋅⇒+-=⇒+-=+-=。

例题：根据函数关系式判断函数的周期。

①)2(1)
2(1)(+-++=x f x f x f ②)
3(1)
3(1)(---+=x f x f x f 解答：①)
2(1)2(1)(+-++=x f x f x f )(x f ⇒的周期：824=⨯=T 。

②)3(1)3(1)(---+=
x f x f x f )(x f ⇒的周期：1234=⨯=T 。

（Ⅵ）)
(1)(1)(a x f a x f x f +++-=，周期为|2|a T =。

【推理】：用a x +替换)(1)(1)(a x f a x f x f +++-=
中的x 得到：)
2(1)2(1)(1)(1)(a x f a x f a a x f a a x f a x f +++-=+++++-=+；
把)2(1)2(1)(a x f a x f a x f +++-=+代入)
(1)(1)(a x f a x f x f +++-=得到：)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1))2(1()2(1)2(1)2(11)2(1)
2(11)(a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f x f +-+++++-++=+-++++--++=+++-++++--=|2|)2()()2(2
)2(2a T a x f x f a x f a x f =⇒+=⇒+=+=。

例题：根据函数关系式判断函数的周期。

①)1(1)
1(1)(-+--=x f x f x f ②)2
1(1)21(1)(+++-=x f x f x f 解答：①)
1(1)1(1)(-+--=x f x f x f )(x f ⇒的周期：212=⨯=T 。

②2
1(121(1)(+++-=x f x f x f )(x f ⇒的周期：1212=⨯=T 。