c cx
x
n
sin x cos x
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
a 1 n +1 x − cos x sin x n +1 ln a
x
小结： 小结：P55 A组 1 组 B组 1 组
(4)(5)(6) ）（2） （1）（ ） ）（
(
)
3 1 2 3 x 1 x ∫1 2 − x dx = ∫1 2 dx − ∫1 xdx= ln2 |1 − 2 x 1 2 6 8 = − − 2 3 − 2 = ln2 − 2 3 + 2 . ln2 ln 2
3 3 3
x
(
)
2 x 0 ≤ x ≤ 1 ,求 例3 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5
被积 函数f(x) 函数 一个原 函数F(x) 函数
c cx
x
sin x cos x
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
a 1 n +1 x − cos x sin x n +1 ln a
x
1.计算定积分 计算定积分
1 例 计算下列定积分:
∫
π
0
sin xdx, ∫ sin xdx, ∫ sin xdx .
y
1
y = sinx
y 1
y = sinx
π
o −1
π2π2πx Nhomakorabeax
o −1
y
1
−1
y = sinx
o
2π
π
x
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和 得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和
x 1 例2.计算下列定积分: (1) ∫ cos 2xdx; ( 2) ∫ 2 − dx . 0 1 x '
( 例4.已知f ( x)是一次函数，其图象过点 3, 4),且 4.已
∫
1
0
f ( x)dx = 1,求f ( x)的解析式
练一练：已知 练一练：已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0, 且
∫ f (x)dx = −2,求a,b,c的值
0
1
练习：已知f (a) = ∫ (2ax2 − a2 x)dx,求f (a)的最大值。
我们发现： 我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； 定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； 当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； 当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0 的面积时，定积分的值为0．
0
1
1.微积分基本定理 微积分基本定理 ' 如果f ( x) 是区间[ a, b] 上的连续函数, 且F ( x) = f ( x) , 则
小结
b a
∫
b
2.基本初等函数的原函数公式 基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x) 函数 一个原 函数F(x) 函数
a
f ( x )dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a )
π
0
2π
2π
解 因为( − cos x) = sin x,
'
∫ ∫ ∫
π
0
sin xdx = ( −cos x) |0 = (− cosπ) − (− cos0) = 2;
π
2π
π 2π
sinxdx = (− cos x) |2π = (− cos2π) − (− cosπ) = −2; π
2 W sinxdx = (− cos x) |0π= (− cos2π) − (− cos0) = 0.
解
∫0
2
f ( x )dx .
y
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1 2 0 1
1
2
原式 = ∫ 2 xdx + ∫ 5dx
= x | +5 x |
2 1 0
2 1
o
1
2
x
= 6.
2.微积分与其他函数知识综合举例： 微积分与其他函数知识综合举例： 微积分与其他函数知识综合举例
π
3
1 解 (1) 因为 sin 2x = cos 2x, 2 π 1 1 1 所以 cos 2xdx = sin2x |π = sin 2π − sin0 = 0. 0 ∫0 2 2 2 ' x ' 2 1 x ( 2)因为 = 2 , 2 x = , x ln 2
复习引入： 复习引入：
1.微积分基本定理 微积分基本定理 ' 如果f ( x) 是区间[ a, b] 上的连续函数, 且F ( x) = f ( x) , 则
b
∫
a
f ( x )dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a )
b a
n
2.基本初等函数的原函数公式 基本初等函数的原函数公式