微积分基本定理编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。

2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。

【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。

设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。

另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。

所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。

当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。

② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。

结合图，可得物体总位移111111()'()n n n ni i i i i i i i s s h v t t s t t --=====∆≈=∆=∆∑∑∑∑。

显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1111()'()nni i i i v tt s t t --==∆=∆∑∑与s的近似程度就越好。

由定积分的定义有11lim ()ni n i b a s v t n -→∞=-=∑11lim '()n i n i b as t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==⎰⎰。

结合①有()d '()d ()()b baas v t t s t t s b s a ===-⎰⎰。

上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。

一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()d ()()baf x x F b F a =-⎰。

这个结论叫做微积分基本定理。

要点二、微积分基本定理的概念微积分基本定理：一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰。

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。

其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。

为了方便，我们常把()()F b F a -记作()ba F x ，即()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰。

要点诠释：（1）根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便。

（2）设()f x 是定义在区间I 上的一个函数，如果存在函数()F x ，在区间I 上的任何一点x 处都有'()()F x f x =，那么()F x 叫做函数()f x 在区间I 上的一个原函数。

根据定义，求函数()f x 的原函数，就是要求一个函数()F x ，使它的导数'()F x 等于()f x 。

由于[()]''()()F x c F x f x +==，所以()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数。

（3）利用微积分基本定理求定积分()d baf x x ⎰的关键是找出使'()()F x f x =的函数()F x 。

通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出()F x 。

要点三、定积分的计算1. 求定积分的一般步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿―――莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值。

2. 定积分的运算性质。

①有限个函数代数和（或差）的定积分等于各个函数定积分的代数和（或差），即1212[()()()d ]()d ()d ()d bb bbn n aaaaf x f x f x x f x x f x x f x x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰。

②常数因子可提到积分符号前面，即()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰。

③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即()d ()d baabf x x f x x =-⎰⎰。

④定积分的可加性，对任意的c ，有()d ()d ()d bcb aacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰。

3. 定积分的计算技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分。

（2）求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和。

（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分。

要点诠释：① 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.因此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.② 把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误。

③ 由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.【典型例题】类型一：利用微积分基本定理求定积分【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题1】例1.计算下列定积分 （1）211dx x⎰（2）312xdx ⎰【思路点拨】 根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解.【解析】（1）因为'1(ln )x x=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰。

（2）323112|817xdx x ==-=⎰【总结升华】为使解题步骤清晰，通常都是把求原函数和计算原函数值的差用一串等式表示出来。

解题格式如下：有()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰举一反三：【变式】计算下列定积分（1）11dx ⎰ （2）1xdx ⎰（3）13x dx ⎰ （4）131x dx -⎰ 【答案】（1）111d 101x x ==-=⎰（2）11222001111d 102222x x x ==⋅-⋅=⎰ （3）130x dx ⎰144401*********x ==⋅-⋅= （4）131x dx -⎰144411111(1)0444x -==⋅-⋅-=【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】例2． 求下列定积分： （1）221(1)d x x x ++⎰；（2）0(sin cos )d x x x π+⎰；（3）2211()d x x x x-+⎰；（4）0(cos e )d xx x π-+⎰。

【解析】 （1）223222222221111111129(1)d d d 1d 326x x x x x x x x x x x ++=++=++=⎰⎰⎰⎰。

（2）000(sin cos )d sin d cos d (cos )sin 2x x x x x x x x x πππππ+=+=-+=⎰⎰⎰。

（3）22232222222111111111375()d d d d ln ln 2ln 223236x x x x x x x x x x x x x -+=-+=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰。

（4）00001(cos e )d cos d e d sin e1e xxx x x x x x x ππππππ-----+=+=+=-⎰⎰⎰。

【总结升华】（1） 求函数()f x 在某个区间上的定积分，关键是求出函数()f x 的一个原函数， 要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系。

（2） 求复杂函数定积分要依据定积分的性质。

举一反三：【变式1】计算下列定积分的值： （1）220(31)x x dx -+⎰， （2）（2015春 银川校级期中）121(sin )x x dx -+⎰， （3）180(8)x x dx -⎰【答案】（1）2223200(31)()82x x x dx x x -+=-+=⎰ （2）1231111(sin )(cos )|3x x dx x x --+=-⎰3311(1cos1)[(1)cos(1)]33=⋅--⋅---112cos1cos1333=-++= （3）91801871(8)()0ln893ln 29x x x x dx -=-=-⎰【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】 【变式2】计算（1）10⎰（2）121x e dx --⎰【答案】（1）1201==⎰ （2）11222211111222xxedx e e e -----=-=-⎰【变式3】计算下列定积分（1）20(1)x x dx +⎰； （2）2211()xe dx x+⎰ （3）20sin xdx π⎰【答案】 （1）2(1)x x x x +=+且32211(),()32x x x x ''==，∴22222232220000003211(1)()||321114(20)(20).323x x dx x x dx x dx xdx x x +=+=+=+=⨯-+⨯-=⎰⎰⎰⎰（2）1(ln )x x '=，又222()(2)2x x x e e x e ''=⋅=，得221()2xx e e '=所以2222222211111111()|ln |2xx x e dx e dx dx e x x x +=+=+⎰⎰⎰ 42421111ln 2ln1ln 2.2222e e e e =-+-=-+ （3）由(sin 2)cos 2(2)2cos 2x x x x ''=⋅=，得1cos 2(sin 2)2x x '=所以200001111sin (cos 2)cos 22222xdx x dx dx xdx ππππ=-=-⎰⎰⎰⎰00111111|(sin 2)|(0)(sin 2sin 0).22222222x x x ππππ=-=---= 类型二：几类特殊被积函数求定积分问题例3． 求下列定积分。