2017 年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分 54 分，1-6 每小题 4 分，7-12 每小题 4 分）1．计算：=．2．设函数 f（x）= 的反函数是 f﹣1（x），则 f﹣1（4）= ．3．已知复数（i 为虚数单位），则|z|= ．4．函数，若存在锐角 θ 满足 f（θ）=2，则 θ= ．5．已知球的半径为 R，若球面上两点 A，B 的球面距离为 ，则这两点 A，B间的距离为 ． 6．若（2+x）n 的二项展开式中，所有二项式的系数和为 256，则正整数 n= ．7．设 k 为常数，且，则用 k 表示 sin2α 的式子为 sin2α= ．8．设椭圆的两个焦点为 F1，F2，M 是椭圆上任一动点，则的取值范围为 ．9．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若，sinC=2 sinB，则 A 角大小为 ． 10．设 f（x）=lgx，若 f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数 a 的取值范围为 ．11．已知数列{an}满足：a1=1，an+1+an=（ ）n，n∈N*，则=．12．已知△ABC 的面积为 360，点 P 是三角形所在平面内一点，且，则△PAB 的面积为 ．二、选择题（本大题满分 20 分） 13．已知集合 A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（ ） A．0⊆ A B．{0}⊆ A C．∅∈A D．{0}∈A 14．设 x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（ ）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（ ）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合 M 满足：对任意 x∈M，总有 x2∉M 且 2，3，4，5}，则满足条件 M 的个数是（ ） A．11 B．12 C．15 D．16，若 M⊆ {0，1，三、解答题（本大题满分 76 分） 17．已知 A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD=2， BC=1，AC 与底面所成角的大小为 ，过点 A 作截面 ABC，ACD，截去部分后的 几何体如图所示． （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积．18．已知双曲线 Γ：（a＞0，b＞0），直线 l：x+y﹣2=0，F1，F2 为双曲线 Γ 的两个焦点，l 与双曲线 Γ 的一条渐近线平行且过其中一个焦点． （1）求双曲线 Γ 的方程； （2）设 Γ 与 l 的交点为 P，求∠F1PF2 的角平分线所在直线的方程． 19．某租车公司给出的财务报表如下：1014 年（1﹣12 1015 年（1﹣12 1016 年（1﹣11月）月）月）接单量（单）油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费 t（元）14.8214.49平均每单里程 k（公里）1515每公里油耗 a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算 2014，2015 年该公司的空驶率的值（精确到 0.01%）； （2）2016 年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平 均每单里程，核算截止到 11 月 30 日，空驶率在 2015 年的基础上降低了 20 个百 分点，问 2016 年前 11 个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别 精确到 0.01 元和 0.01 公里） 20．已知数列{an}，{bn}与函数 f（x），{an}是首项 a1=15，公差 d≠0 的等差数 列，{bn}满足：bn=f（an）． （1）若 a4，a7，a8 成等比数列，求 d 的值； （2）若 d=2，f（x）=|x﹣21|，求{bn}的前 n 项和 Sn； （3）若 d=﹣1，f（x）=ex，Tn=b1•b2•b3…bn，问 n 为何值时，Tn 的值最大？ 21．对于函数 f（x），若存在实数 m，使得 f（x+m）﹣f（m）为 R 上的奇函数， 则称 f（x）是位差值为 m 的“位差奇函数”． （1）判断函数 f（x）=2x+1 和 g（x）=2x 是否为位差奇函数？说明理由；（2）若 f（x）=sin（x+φ）是位差值为 的位差奇函数，求 φ 的值；（3）若 f（x）=x3+bx2+cx 对任意属于区间 数，求实数 b，c 满足的条件．中的 m 都不是位差奇函2017 年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分 54 分，1-6 每小题 4 分，7-12 每小题 4 分）1．计算：= ﹣2 ．【考点】二阶矩阵． 【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数 f（x）= 的反函数是 f﹣1（x），则 f﹣1（4）= 16 ． 【考点】反函数． 【分析】先求出 x=y2，y≥0，互换 x，y，得 f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出 f﹣1 （4）． 【解答】解：∵函数 f（x）=y= 的反函数是 f﹣1（x）， ∴x=y2，y≥0， 互换 x，y，得 f﹣1（x）=x2，x≥0， ∴f﹣1（4）=42=16． 故答案为：16．3．已知复数（i 为虚数单位），则|z|= 2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i 为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角 θ 满足 f（θ）=2，则 θ=．【考点】三角函数的化简求值． 【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值． 【解答】解：函数=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ）， 由若存在锐角 θ 满足 f（θ）=2， 即有 2sin（θ+ ）=2，解得 θ= ﹣ = ．故答案为： ．5．已知球的半径为 R，若球面上两点 A，B 的球面距离为 ，则这两点 A，B 间的距离为 R ． 【考点】球面距离及相关计算． 【分析】两点 A、B 间的球面距离为 ，可得∠AOB= ，即可求出两点 A，B 间的距离． 【解答】解：两点 A、B 间的球面距离为 ，∴∠AOB= ． ∴两点 A，B 间的距离为 R， 故答案为：R．6．若（2+x）n 的二项展开式中，所有二项式的系数和为 256，则正整数 n= 8 ． 【考点】二项式系数的性质． 【分析】由题意可得：2n=256，解得 n． 【解答】解：由题意可得：2n=256，解得 n=8． 故答案为：8．7．设 k 为常数，且，则用 k 表示 sin2α 的式子为 sin2α= 2k2﹣1 ．【考点】二倍角的正弦． 【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的 正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴ （cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα= k， ∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2， ∴sin2α=2k2﹣1． 故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为 F1，F2，M 是椭圆上任一动点，则的取值范围为 [﹣2，1] ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可知：焦点坐标为 F1（﹣，0），F2（，0），设点 M 坐标为M（x，y），可得 y2=1﹣ ，=（﹣ ﹣x，﹣y）•（ ﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣ = ﹣2，则 x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c= ，则焦点坐标为 F1（﹣ ，0），F2（ ，0），设点 M 坐标为 M（x，y），由，可得 y2=1﹣ ；=（﹣ ﹣x，﹣y）， ﹣=（ ﹣x，﹣y）；=（﹣ ﹣x，﹣y）•（ ﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣ = ﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则 x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若，sinC=2 sinB，则 A 角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用． 【分析】先利用正弦定理化简 sinC=2 sinB，得到 c 与 b 的关系式，代入中得到 a2 与 b2 的关系式，然后利用余弦定理表示出 cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出 cosA 的值，根据 A 的范围，利用特殊角的三角 函数值即可求出 A 的值． 【解答】解：由 sinC=2 sinB 得：c=2 b，所以= •2 b2，即 a2=7b2，则 cosA=== ，又 A∈（0，π），所以 A= ． 故答案为：10．设 f（x）=lgx，若 f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数 a 的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】由题意，f（x）=lgx 在（0，+∞）上单调递增，利用 f（﹣a）﹣f（a） ＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数 a 的取值范围． 【解答】解：由题意，f（x）=lgx 在（0，+∞）上单调递增， ∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0， ∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{an}满足：a1=1，an+1+an=（ ）n，n∈N*，则 【考点】极限及其运算． 【分析】由已知推导出 S2n= （1﹣ ），S2n﹣1=1+=﹣ ． ，从而 a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+ （1﹣）]，由此能求出．【解答】解：∵数列{an}满足：a1=1， ∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n） =，n∈N*，== （1﹣ ）= （1﹣ ），∴S2n= （1﹣ ）， a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n﹣2+a2n﹣1）=1+=1+=1+，∴S2n﹣1=1+，∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+ （1﹣）]，∴=故答案为： ．﹣[1+ （1﹣）]==﹣ ．12．已知△ABC 的面积为 360，点 P 是三角形所在平面内一点，且，则△PAB 的面积为 90 ． 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】取 AB 的中点 D，AC 的中点 E，则 P 为 DE 的中点，利用相似比，可得 结论． 【解答】解：取 AB 的中点 D，AC 的中点 E，则 P 为 DE 的中点， ∵△ABC 的面积为 360，∴△PAB 的面积=△ADE 的面积==90．故答案为 90．二、选择题（本大题满分 20 分） 13．已知集合 A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（ ） A．0⊆ A B．{0}⊆ A C．∅∈A D．{0}∈A 【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆ ，可得结论． 【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆ ，可知 B 正确． 故选 B．14．设 x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（ ）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：A．当 x=1，y=0 时，满足|x|≥1 时，但|x|+|y|=1＞1 不成立，不 满足条件． B．当 x=1，y=0 时，满足|x+y|≥1 时，但|x|+|y|=1＞1 不成立，不满足条件． C．当 y≤﹣2 时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1 成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件． 故选：C．15．图中曲线的方程可以是（ ）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程． 【分析】由图象可知曲线的方程可以是 x2+y2=1 或 x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得 出结论． 【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是 x2+y2=1 或 x+y﹣1=0（x2+y2≥1）， 故选 C．16．已知非空集合 M 满足：对任意 x∈M，总有 x2∉M 且 2，3，4，5}，则满足条件 M 的个数是（ ），若 M⊆ {0，1，A ．11B ．12C ．15D ．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M 是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M 是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M 有11个， 故选：A ．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a ＞0，b ＞0），直线l ：x +y ﹣2=0，F 1，F 2为双曲线Γ的两个焦点，l 与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点． （1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l 的交点为P ，求∠F 1PF 2的角平分线所在直线的方程． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x ，焦点坐标为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l 的交点为P ，求出P 的坐标，利用夹角公式，即可求∠F 1PF 2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x ，焦点坐标为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），∴双曲线方程为x 2﹣y 2=2； （2），显然∠F 1PF 2的角平分线所在直线斜率k 存在，且k ＞0，，，于．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．），．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。