综合检测(一)一、选择题1． i 是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i2． 演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误3． 用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除4． i 为虚数单位，复平面内表示复数z ＝－i2＋i的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5． 若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定6． 求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5， 只要证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1， 即证35>11，即证35>11，∵35>11恒成立，∴原式成立． 以上证明过程应用了( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法7． 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如下图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极大值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 9． 如右图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e－2D ．e －1e10．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(－1，－4)C ．(1，－4)D ．(1,0)或(－1，－4)11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a12．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于 ( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4二、填空题13．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．14．变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2(m/s)(其中t 为时间，单位：s)，则它在前2 s内所走过的路程为________m.15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 17．求函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2的单调区间．19．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，求a 2、a 3、a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等．若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论． (2)求证：B 不可能是钝角．21．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．答案1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C 13．一 14．215．[－3，3]16．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1. ∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0， 且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6.∴不存在实数a 使z 为纯虚数． 17．解 f ′(x )＝e x －1＋x e x －x＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 18．证明 要证a －5－a －3<a －2－a ， 只需证a －5＋a <a －3＋a －2，只需证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2， 只需证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6， 只需证0<6. 因为0<6恒成立， 所以a －5－a －3<a －2－a 成立．19．解 a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k a k ＋3＝3·3k ＋53k ＋5＋3＝3(k ＋1)＋5，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知，对n ∈N *，a n ＝3n ＋5都成立．20．(1)解 大小关系为b a <c b ， 证明如下：要证b a<c b， 只需证b a <c b，由题意知a 、b 、c >0， 只需证b 2<ac ， ∵1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac， ∴b 2≤ac ，又a 、b 、c 任意两边均不相等， ∴b 2<ac 成立． 故所得大小关系正确．(2)证明 假设B 是钝角，则cos B <0， 而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0.这与cos B <0矛盾，故假设不成立． ∴B 不可能是钝角．21．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk ，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)． 当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk ，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk，0)．。