承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：第10 组所属学校（请填写完整的全名）：许昌学院参赛队员(打印并签名) ：1. 孔二卫2. 李县维3. 赵万万指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张亚东岳晓鹏日期： 2011 年 7 月 23 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：青烟威荣城际高铁的最优票价摘要青烟威荣城际铁路是山东省内第一条区域性城际高速铁路，也是省内投资最大的单体铁路建设项目。

该铁路位于胶东半岛，连接青岛、烟台、威海三个主要城市，是构建半岛城市群间最重要的交通基础设施和最快捷运输通道，具有充分发挥青岛、烟台、威海作为区域中心城市的辐射作用、带动沿线城镇化发展的重要意义。

票价是决定轨道交通客运量发展的重要因素，票价的制定将直接影响轨道公司的利益和普通乘客的利益。

传统的定价方法大都建立的是单一的定价模型。

我们应该从社会的各个方面的利益和效益出发。

青荣城际铁路是山东重要的基础设施，在制定票价的同时要充分考虑各种因素，制定出既符合社会效益又能满足企业正常运转的合理票价是个复杂的问题。

国内现有的研究大多侧重于定性分析，而相关的定量分析较少。

因此，拟通过Ramsey数学模型对制定轻轨票价进行定量分析。

为此将这个模型应用于青荣高铁的票价制定，为轨道交通提供一种新的思路和方法。

针对铁路的定价问题，分析铁路定价及相关领域的研究现状，并对该问题进行了叫为合理的研究，将铁路定价概括为：铁路平均票价问题；铁路高峰定价问题等。

针对上述问题，本文建立了相对合理的模型及相应的求解。

从理论上我们分析了影响青烟威荣城际高铁的票价的主要因素，提出用拉姆齐（Ramsey）定价模型和“高峰负荷定价法”确定介于边际成本和盈亏平衡之间的最优票价。

同时运用计量经济学的方法对青烟威荣城际高铁的票价需求弹性系数和运营成本做了近似估计，并为青烟威荣城际高铁的票价制定出分段计程制票价方案。

关键词：Ramsey模型，轻轨，铁路票价，客运高峰一、问题重述据媒体报道：青荣城铁项目于2010年底全面开工建设，目前即墨段、莱阳段和文登段等已开工建设，其预计竣工日期为2013年9月30日，总工期为36个月，总投资371.3亿元(含动车组采购费用)。

工程全线总长298.971公里，其中桥梁164.696公里，占正线长度的55.09%。

青荣城际铁路全线共设车站15个，其中城际始发站有青岛北站、烟台站、威海站、荣成站共4个；办理客运业务的中间站有城阳、即墨北、莱西、莱阳、桃村北、福山南、烟台南、牟平、威海北、威海机场共10个；预留夏格庄站。

届时，青岛至烟台、威海旅行时间将由现在的3.7小时、4.3小时分别缩短为1小时、1.5小时。

同时，烟台到济南、北京的时间可分别控制在3小时、5小时之内，而目前烟台至北京的运行时间为14.5小时。

随着青荣轻轨项目的开工，全线15个站之间的票价问题成为倍受人们关注的热点问题。

交通票价问题向来是敏感而又复杂的问题，其往往具有双面性：过高的票价会使众多旅客不堪负重，也可能使得铁路部门因售票情况不佳而损失惨重；过低的票价可能使建设和运营成本难以收回。

本文围绕如何确定最优票价，重点解决以下问题：1、根据青荣轻轨的具体情况，分析影响青荣轻轨票价的相关因素，收集相关数据，并据此通过数学建模的方法，给出青荣轻轨各站间的最优票价。

2．根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。

二、问题分析城市交通是城市基本职能和物质基础的重要组成部分，城市发展与城市交通运输具有相辅相成、相互制约的密切关系。

交通运输决定了城市的形成和发展，在城市形成之后，则要求交通技术与城市发展相适应。

目前, 我国正大力建设城市轨道交通, 而票价的高低始终是老百姓在运营前最关注的问题。

随着城市客运交通运输市场竞争环境的日益激烈和复杂, 制定票价策略的难度也越来越大，不仅要考虑到轻轨的成本，成本是影响票价制定的主要因素，还要考虑到公众的承受能力、其他交通工具的竞争、政府补贴问题等情况。

青烟威荣城际铁路是山东省内第一条区域性城际高速铁路，也是省内投资最大的单体铁路建设项目。

对于这条轻轨如何充分考虑各种因素，制定出既符合社会效益又满足企业正常运转的合理票价是个复杂的问题。

国内现有的研究大多侧重于定性分析，而相关的定量分析较少。

因此，拟通过拉姆齐数学模型对制定轻轨票价进行定量分析。

拉姆齐模型作为非线性定价模型，在国外被广泛应用于交通、电信、电力等行业的定价。

为此将拉姆齐模型应用于青烟威荣城际高铁的票价的制定，为国内城市公共交通，特别是轨道交通的定价提出一种新的思路和方法。

三、基本假设根据不同的定价理论和目标建立定价模型来确定其最优平均票价水平, 运用拉姆齐定价模型来进行数学建模。

一般来说，影响票价高低的主要因素有：运营成本、公众的承受能力、其他交通工具的竞争、政府补贴问题。

根据这些因素我们提出以下基本假设：1）客流量随价格的变动变化。

2）短期内，假设为一年.轨道公司的营运成本保持不变。

3）在成本核算时不考虑广告等收人的影响。

4）不考虑公共交通由于外界原因造成的影响。

5) 不考虑坐车、候车的成本。

6）不考虑天气、环境对公共交通的影响。

7）不考虑人民币价值变动的影响。

8）用某些类似地区地铁的客运信息代替青荣轻轨客运信息。

四、变量的申明及符号说明五、几种重要的定价理论1、价值理论该理论基于价值来进行定价。

对于产品/服务的价值决定的基础的讨论，在长期的争论中主要形成了多种价值理论，经过马克思对古典劳动价值论的科学批判和吸收，真正有影响并自称体系的主要有两种：马克思的劳动价值理论和新古典价值理论，其中组成新古典价值论的主要是效用论、生产费用论、均衡论。

2、服务定价理论该理论基于服务与需求的的相互制衡形成最终的成交价格，这个价格就代表着服务的价值。

服务作为非实物劳动成果，与实物劳动成果一样具有消除相对稀缺、满足人们的需要的功能，具有使用价值；由于耗费了一定的劳动，且私人劳动和社会劳动之间存在矛盾性，故其价值只能按其中凝结的同质抽象劳动量计量。

为交换而生产的服务就是商品，是使用价值和价值的统一体。

3、运输服务定价的价值理论运输服务的价格形成主要受运输市场供需变化的影响，市场的调节作用可以使运输服务获得一个供需平衡的价格，即均衡价格，同时运输服务价格又反作用于运输市场的供需关系，确保均衡价格的稳定性。

六、模型的建立与求解6.1 Ramsey 模型原理在综合考虑到青荣铁路的实际情况，其平均成本要比边际成本高很多，若要采取边际成本预测定价方法，企业可能会出现巨额亏损的现象，还有可能会导致道路交通过于拥挤而造成事故，如果采取盈亏平衡定价，又会超出一般人承受水平，导致不能解决道路交通问题。

所以应该找一个处于中间状态的票价定价理论。

而处于中间状态的定价水平可以用Ramsey 模型来确定[1]。

其表达式为：εα-=-PMC P （1）其中：P 为价格；MC 为边际成本；ε为价格需求弹性系数；α为拉姆塞指数。

从上面的公式我们可以看出来，拉姆塞模型其实就是在考虑边际成本的基础上面添加了一个加价。

如果要是考虑到市场是否属于高峰期，也就是在区分高峰期与非高峰期时段的价格差别时，可以令P i 、MC i 和εi (i=1,2)分别表示高峰期和非高峰期的价格及边际成本、价格需求弹性系数，则由拉姆塞模型得到：εε12222111=--PMC P P MC P （2）这个公式就是拉姆塞模型的高峰负荷定价法，即得到，处于高峰时段的价格明锐程度要比非高峰时段价格的明锐程度要小。

这样就可以在高峰时段采取高一点的价格，而在非高峰时段采取低一点的价格的定价策略[2]。

也就可以运用高峰负荷定价法来求解。

如果企业在不考是否为高峰时段时，计算出来一个盈亏的平衡点P ，与相对应的边际成本MC 和价格需求弹性指数ε，在根据非高峰期的边际成本MC 2和价格需求弹性指数ε2就可以求出来P 2(<P )。

再由道路最拥挤繁忙时在高峰时段的，那么政府要是用P 2来代替平衡点P 的话，既可以解决道路的客流问题，特别的，能够应付高峰时段的客流量问题。

6.2 Ramsey 模型的应用根据实际情况可知，在城市在交通的各个时段的边际成本变化很小，那么MC MC MC 21==Ramsey 模型可以改为：εε122211=--P MC P P MC P （3）由此可以计算青荣铁路的票价定价方案。

6.3 价格需求弹性指数的确定采取OLS 方法估计弹性指数，设：客流量为Q （人次）、平均票价为P ，则它们满 足公式：Pa Q ε=其中：a 为常数；ε为弹性指数。

两边同时取对数得： P ln ln ln ε+=a Q因青荣轻轨仍在建设中，我们无法得到青荣轻轨的数据，现用与青岛相类似的城市代替，在比较了北京，上海，新加坡，深圳等相关城市后，选择深圳作为青荣轻轨的参照城市。

下面是深圳05年~10年运营数据[3]：表1运用SPSS软件回归可得：图1又图1可知ln Q=3.9994-0.376 ln P通过SPSS检验得到p值为0.013，小于置信水平0.05，所以ε的估计值是符合实际情况的。

所以取ε=-0.376。

现将ε与美国公共汽车票价弹性做比较：城市状况 百万人口以上所有时段的平均值高峰时段的平均值非高峰时段的平均值-0.36 -0.23 -0.42表2 公共汽车需求弹性估计表可以得出我们求出的ε的估计值是符合实际情况的。

而且这个数值是所有时段的平均值，表中的42.02-=ε作为轻轨非高峰时段的需求弹性值。

6.4 青荣轻轨成本分析按照经济学原理，轻轨运营成本C 与客流量Q 满足函数：e ()C Q bQ = （4）式中：b 、e 为常数。

在生产规模不变（固定成本不变）的情况下，边际成本实际上就是运营成本对客流量的导数，即将（4）式两边取对数，得：lnC(Q)=lnb+elnQMC=1()()e e dC Q d bQ beQ dQ dQ-== （5）根据轻轨总公司提供的预测客流量和预测成本数据，同样用SPSS 回归可得：图2LnC(Q)=5.1841+0.5567lnQ通过SPSS检验得到p值为0.013，小于置信水平0.05.将回归数据及相应的客流量代入（5）式，得：MC=1.596（元）根据相关数据，还可求出盈亏平衡点时相对应的平均票价水平：P=2.83（元/人次）6.5 青荣轻轨的平均票价水平把盈亏平衡点的平均票价P= 2.83（元/人次），所有时段需求弹性的平均值ε=0.376，ε2=-0.42，边际成本MC= 1.596元，代入公式（3）：得P2= 2.618（元），即为轻轨的平均票价水平。