f(x)=2x+1
思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶 函数吗？
(1) f(x)= x
(2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4)
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点 对称
∴f(x)为非奇非偶函数
解: ∵定义域不关于原点 对 称 或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数
是偶函数，且知道x ≥0是的图像，请作
出另一半图象。
y
x
例3. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x
解: 定义域为R
(2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+(-x)
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a
= -x3-x
=3x4+6x2 +a
= -(x3+x)
否
判断定义域
若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;
是否对称
若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.
是
(3)作出结论. f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函f(-x)与f(x) 数或即是奇函数又是偶函数。
结论
练习: 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 _偶__函__数___ ② f(x)= x -1 _奇__函__数_____
结论:当自变量任取定义域中的 两个相反数时,对应的函数值也 互为相反数,即f(-x)=-f(x)
函数奇偶性的定义:
奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
偶函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
y
(-a,f(-a))
-a o
(a,f(a))
a
x
偶函数的图象关于y轴对称，反过 来，如果一个函数的图象关于y轴 对称，那么这个函数是偶函数.
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 yy轴左边的图象。
o
x
练习
第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x)
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？
y
分析：函数的定义域为R
但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x)
2
0
-1 1
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
理解定义
f (x) x2,x[2,4]的图像如图所示
y
思考？
-2 o
4x
能说 f(x)x2,x[2,4]为偶函数吗？
函数具有奇偶性的前提是什么？
函数的定义域关于原点对称
对于奇、偶函数定义的几点说明:
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
③ f(x)=x __奇__函__数__ ⑤ f(x)=x5 _奇__函__数_____
④ f(x)=x -2 _偶__函__数_____ ⑥f(x)=x -3 ___奇___函___数______
对于形如 f(x)=x n ( nZ ) 的函数，在定义
域R内:
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
（1）图像法 （2）定义法
典例详解
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y
y
x
f(x)x2 2
y
x
f(x)－x22x
y
x
f(x)2x1
x
f (x) 2x , x 1
y (a,f(a))
-a
o
ax
(-a,f(-a))
奇函数的图象关于原点对称，反过来， 如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数.
x
x函数
(4 )f(x )1 x 2 1
解：定义域是 R f (x) 1 1
（ x）2 1 x 2 1
即f x f x
f x为偶函数
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;
给出函数
(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系;
即 f(-x)= f(x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为偶函数
∴f(x)为奇函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
(3 )f(x ) x 1 x
解：定义域是 x x o
f (x) x 1 (x 1 )
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇
函数，有的是偶函数，也有非 y 奇非偶函数。那么有没有这样
的函数，它既是奇函数又是偶
函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
0 -1 1
x
是不是只有这一个呢？若不是， 请举例说明。
f(x)=0
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
在线测试
1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？ （1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2) ( ) （2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（ ） （3）若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数（ ） 2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 3、下列四个结论： 偶函数的图像一定与y轴相交； 奇函数的图像一定过原点； 偶函数的图像关于y轴对称； 奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)） 表述正确的个数是 A、1 B、 2 C、3 D、4
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.
3判断奇偶性方法：图象法，定义法。
4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
❖ 4、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3)等 于（ ）
A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 ❖ 5、已知函数f(x)=x3，-5≤x<5，则下列结论正
确的是（ ）
（A） 函数f(x)是奇函数 （B）函数f(x)的图像关于原点中心对称 （C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x) （D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域
f(x)=x2
fx = x
y
-
x0 O
x0
x
fx = x3
f (x)1(x0) x
例如：函数f(x)=x2 ，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-x)=(-x)2=x2
f(-1)=f(1)
f(-2)=f(2)
f(-x)=f(x)
-x
x
结论:当自变量x任取定义域
中的一对相反数时,对应的
函数值相等，即f(-x)=f(x)
例如：对于函数f(x)=x3 有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x x
在日常生活中，有非常多的轴对称现象， 如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几 个例子。
除了轴对称外，有 些是关于某点对称，如 风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
y
（1）
（2）
-1 O 1 x