用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支 座移动都可以产生内力。
❖用力法分析这些非荷载因素作用下的超静定结
构，其基本原理及步骤与荷载作用下相同，力法 典型方程中的系数是基本体系的固有特性，不随 外界作用因素而变，所不同的是力法典型方程中 的自由项不再是由荷载所产生，而是由上述因素 产生的基本体系在多余未知力方向的位移。
(c)
当
k ,
X1
5 4
ql
(
)
基 本 体 系
？
M图由M M1X1 MP作出：
例 6. 求作弯矩图(同例3)。 ( k 10EI ) EI常数 l3
解：选取基本体系 建立典型方程
11 X1 1P 0
基本体系二
11
M12ds EI
F2 k
k
2l 3EI
( 2 2 ) l lk
16l 15EI
1.平衡条件校核
取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应 满足平衡条件（弯矩图、剪力图、轴力图）
（1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足∑M=0的
平衡条件。例如
取结点E为隔离体
E
MED MEB
MEF
应有 ∑ME=MED+MEB+MEF=0
M图
（2）剪力图和轴力图 可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查
❖(3) 内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度EI的 绝对值成正比。
支座移动时的 不同算法举例
EI l
1）
X1
a
Δ1=δ11x1+Δ1Δ=－a
θ
l
M1
l3 δ11= 3EI
X1=1
Δ1Δ=－θl
X1=
3EI l2
a l
3EI a l l
11
M
2 1
dx
EI
a 1 FRi c
A
X1=1
1 M
11
结论:当结构只受荷载作用时,
沿封闭框形的M/EI图形的
MM ds M ds 0 总面积应等于零。
EI
EI 封闭框
M I
ds
1 1
4020 2
•4
1 2
3060 2
•
4
1 1
3015 2
•4
40 1
0
超静定结构最后内力图校核步骤
• 平衡条件的校核—结构中任意取出一部分，都 应满足平衡条件
➢（3）当杆件截面内外边缘有温差时，内力使 得温度低的一面产生拉应力，温度高的一面产 生压应力。因此，在钢筋混凝土结构中要特别 注意降温可能出现的裂缝。
§7.10 支座移动时超静定结构 的计算
对于静定结构，支座移动时将使其产生位移， 但并不产生内力。例如
A
B
C
超静定结构当支座移动时，发生位移的同时 将产生内力。
X3
X1 X2 b
基本体系3 a
1 l b 2 a 3
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 0
例7-9 两端固定的等截面梁A端发生了转角，分析
200
15 147.5
11.3 22.5
∑Fx=3.7+11.3－15=0
147.5 22.5
∑Fy=75+147.5－200 －22.5 =0
2.位移条件校核
仅满足平衡条
件，就能说明
检查各多余联系处的位移是否与已最知后的内实力际图位是移相
符。对于刚架，可取基本结构的单位正弯确矩的图吗与？原结构的
求横梁中点K的位移△K， 作基本结构虚拟状态的
图 并求出 ，然后计算位移
－1/2 －1/2
138EI/L
M图
1
K0
L/4
MK 图
FN K
小结
温度改变时的力法计算特点：
➢（1）温度改变引起的内力全由多余未知力引 起，且与杆件刚度EI的绝对值成正比；
➢（2）力法典型方程的形式、系数与荷载作用 时相同，自由项不同；
本结构由于温度变 t1
t2
t3 t1
t2
t3
化引起的沿X1、X2 、X3方向的位移。 即
X1
X2
X3
由于基本结构是静定的，故温度变化不产生 内力，最后内力只由多余未知力引起，即
M Mi Xi
但温度变化会使基本结构产生位移，故位移计 算公式中还要加上由于温度变化引起的位移， 即
K
M
K Mds EI
例如图示刚架温度发生变化，选取基本结构（见图），
典型方程为
11X1+12X2+13X3+△1t=0 21X1+22X2+23X3+△2t=0 31X1+32X2+33X3+△3t=0
力法典型方程的形 式、系数与荷载作 用时相同，自由项 不同
其中系数的计算同
前，自由项△1t、
t1
t1
△2t、 △3t分别为基
X1 2) a
Δ1=δ11x1+Δ1Δ= θ
a
a 1
X1=1
M1
δ11= l Δ1Δ=
1/l
3EI
l
X1=
3EI l
a l
M图
例 . 求作图示连续梁的弯矩图。
解：取基本体系， 典型方程：
EI
11 X1 1P X1 / k
最终解得：X1
1P (11
1) k
当 k 10EI , l3
X1
25 ql ( ) 32
Kt
M
K Mds EI
FNK
t0
l
t
h
M
K
ds
例7-7 刚架外侧温度升高25℃，内侧温度升高35℃， 绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架EI=常数，截面 对称于形心轴，其高度h=l/10,材料的膨胀系数为。
解：n=1
选取基本结构 典型方程为:
11X1+△1t=0 计算 并绘制 图 求得系数和自由项为
任取一基本结构，求超静定结构的位移
Ky
1 EI1
a2 8
5 6
3 88
Pa
1 2EI1
[1 2
( 3 88
Pa
15 88
Pa)
a a 1 Pa a ] 3Pa3 () 2 2 4 2 1408EI1
另一 解法
二者结果相同， 但后者较简便
P=1
K
a/4
M K图
(↓)
计算超静定结构位移的步骤
2EI
l
M
4EI
l
X2 1
支座移动引起的内力与各杆 的绝对刚度 EI 有关。
小结
支座移动时的力法计算特点：
❖(1) 取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表 的位移条件不同，而且力法方程的形式也可能不一 样，方程的右边可不为零（＝±与多余未知力对应的 支座位移）。
❖(2) 系数计算同前；自由项 ΔiΔ=－∑FRi·C ，C是基 本体系的支座位移。 所以，基本体系的支座位移产 生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方 程的右边。
L
+ 25℃ +35℃
L
+ 25℃
+35℃
基 X1
L
L
-1
M1图
FN 1
1
1t
F N1tl
t
h
M1ds
(1)
25 35 l
2
35
h
25
2
l2 2
l 2
30l1
2l 3h
温230度l 改变引起的
故得
内力与各杆的绝
对刚度 EI 有关。
按
作弯矩图
-1
M1图 1
138EI/L
M图
A
B
C
用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原
理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。 例如图示刚架，可建立典型方程如下：
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 a
其内力。
解： n=3 选取基本结构如图，A
B
L
因X3=0,则典型方程为
11X1+12X2+△1△=－ 21X1+22X2+△2△=0
X1
X2
基本结构
X3
1
绘出
图，图乘得
，
，
M1图 X1 1
M 2图
由题意知：△1△ = △2△ =0,将
上述结果代入方程后解得
A
4EI l
1X2 1
2EI l
是否满足 ∑Fx=0和 ∑Fy=0的平衡条件。
200kN
100 60
30
75 ＋
22.5 ＋
I=2
B 40 I=2
4m
－ 125
11.3 －
150 I=1
M图（kN.m)20
2m 2m
I=1
4m
15 100
＋ 15 Fs图（kN) 60
－ 3.7 FN图（kN)
11.3 ＋
＋ －
40 3.7
75
∑M=0
方程的物理意义是否明确？
A
B
b
L a
其中1 , 2 , 3 为基本结构由于支座移动所产
生的沿X1、X2、X3方向的位移,即 基
X1 A
BX2 X3
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
1
(
1 l
b)
Δ1blΔ、Δ2Δ、2Δ3Δ等(1l b于) 多少bl ？