4m
125
－ 11.3 － 15 ＋ Fs图（kN) 图
150 M图（kN.m) 图 20
I=1
I=1
2m
2m
4m
11.3 ＋
15 100 40
60
∑M=0
200 15 147.5 11.3 22.5
－
3.7 ＋ － 3.7 75
FN图（kN) 147.5
22.5
∑Fx=3.7+11.3－15=0 － ∑Fy=75+147.5－200 －22.5 =0 －
结论:当结构只受荷载作用时 当结构只受荷载作用时, 沿封闭框形的M/EI图形的 沿封闭框形的 图形的 总面积应等于零。 总面积应等于零。
超静定结构最后内力图校核步骤
• 平衡条件的校核 结构中任意取出一部分，都 平衡条件的校核—结构中任意取出一部分， 结构中任意取出一部分 应满足平衡条件 • 变形条件的校核 任选一基本体系，任选一多 变形条件的校核—任选一基本体系 任选一基本体系， 余未知力X 由最后内力图计算出X 余未知力Xi，由最后内力图计算出Xi方向的位 并检查是否与原结构对应位移相等。 移，并检查是否与原结构对应位移相等。在荷 载作用下，超静定结构的最后弯矩图， 载作用下，超静定结构的最后弯矩图，与任意 基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘 结果如果等于零，则满足变形条件。 结果如果等于零，则满足变形条件。
M K Mds ∆K = ∑ ∫ + ∆ Kt EI M K Mds α ∆t = ∑∫ + ∑ FNK α t0 l + ∑ ∫ M K ds EI h
刚架外侧温度升高25℃ 内侧温度升高35℃ 例7-7 刚架外侧温度升高 ℃，内侧温度升高 ℃， 绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架EI=常数，截面 常数， 绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架 常数 对称于形心轴，其高度h=l/10,材料的膨胀系数为α。 材料的膨胀系数为α 对称于形心轴，其高度 材料的膨胀系数为 解： n=1 选取基本结构 典型方程为: 典型方程为: δ11X1+△1t=0 计算 并绘制 图 求得系数和自由项为
L
a
其中 ∆1∆ , ∆2∆ , ∆3∆ 为基本结构由于支座移动所产 生的沿X 生的沿 1、X2、X3方向的位移,即 方向的位移 即 基
X1
A
B
X2 X3
b
A
B
ϕ
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
∆ 2 ∆ = −( b) = − ∆ 3∆ = 0 l l 最后内力（ 图 最后内力（M图）： M = M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 ∆1∆
+ 25℃ + 25℃
+35℃
+35℃
L
L
基
L
-1
M1图
FN 1
L
X1
1
∆1t =
∑
F N 1αtl +
∑
α∆t
h
∫
M 1ds
-1
M1图
1
138αEI/L α
25 + 35 35 − 25 l 2 2× + l2 l −α × = (−1)α × 2 h 2
故得
2l = −30αl 1 + = −230αl 3h
§7-8 最后内力图的校核
用力法计算超静定结构，因步骤多易出错， 用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注 意检查。尤其是最后的内力图， 意检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据 应加以校核。 ，应加以校核。校核应从平衡条件和位移条件 两方面进行 1.平衡条件校核 平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体， 取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应 满足平衡条件（弯矩图、剪力图、轴力图） 满足平衡条件（弯矩图、剪力图、轴力图） （1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足 ）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足∑M=0的 的 平衡条件。 平衡条件。例如 取结点E为隔离体 取结点 为隔离体 E
问题：取不同的基本结构， 问题：取不同的基本结构，如何建立典型方 程？
X3
X1
基本体系2 基本体系
X3
X1 X2
基本体系3 基本体系
X2
X3
X1
基本体系2 基本体系
X2
∆ i∆ = 0
∆i
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ∆1 ∆ = − b δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 ∆ = − a δ X + δ X + δ X + ∆ = −ϕ 31 1 32 2 33 3 3∆
§7-7 超静定结构的位移计算
计算原理
上一章所述位移计算的原理和公式， 上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构也 是适用的，下面以§ 的例题予以说明。 是适用的，下面以§7—5的例题予以说明。 的例题予以说明 杆中点K 求CB杆中点 杆中点 的竖向位移△ 的竖向位移△KY 图中所示的M图 图中所示的 图 就是实际状态。 就是实际状态。 虚拟状态如图 为了作 ，需解算一个二次超静定问题，较为麻烦。 需解算一个二次超静定问题，较为麻烦。
温度改变引起的 内力与各杆的绝 有关。 对刚度 EI 有关。 作弯矩图
按
M图 图
求横梁中点K的位移△ 求横梁中点 的位移△K， 的位移 作基本结构虚拟状态的 图 并求出 ，然后计算位移
138αEI/L α
M图 图
K 0 －1/2 －1/2
L/4
1
MK 图
FN K
小结 温度改变时的力法计算特点： 温度改变时的力法计算特点： （1）温度改变引起的内力全由多余未知力引 且与杆件刚度EI的绝对值成正比 的绝对值成正比； 起，且与杆件刚度 的绝对值成正比； 力法典型方程的形式、 （2）力法典型方程的形式、系数与荷载作用 时相同，自由项不同； 时相同，自由项不同； 当杆件截面内外边缘有温差时， （3）当杆件截面内外边缘有温差时，内力使 得温度低的一面产生拉应力，温度高的一面产 得温度低的一面产生拉应力， 生压应力。因此， 生压应力。因此，在钢筋混凝土结构中要特别 注意降温可能出现的裂缝。 注意降温可能出现的裂缝。
C I2=2I1
a 2
2.位移条件校核 位移条件校核
B I1
Pa 2
原
a …]=0
M1图
A
100 200kN I=2 B
无铰封闭框格校核
60 30 40 I=2 A X1=1 1
200 150 M图（kN.m) 图 20
4m
I=1
I=1
M
2m
2m
4m
15
1
1
∆ = ∑∫
M MM = ∫ ds = 0 ds EI 封闭框 EI M 1 40 − 20 1 30 − 60 1 30 −15 40 ∫ I ds = 1 2 • 4 + 2 2 • 4 + 1 2 • 4 = 1 ≠ 0
§7-9 温度变化时超静定结构的 计算
由于超静定结构有多余约束，所以在无荷载作 由于超静定结构有多余约束， 用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、 用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支 座移动都可以产生内力。 座移动都可以产生内力。 用力法分析这些非荷载因素作用下的超静定结 其基本原理及步骤与荷载作用下相同， 构，其基本原理及步骤与荷载作用下相同，力法 典型方程中的系数是基本体系的固有特性， 典型方程中的系数是基本体系的固有特性，不随 外界作用因素而变， 外界作用因素而变，所不同的是力法典型方程中 的自由项不再是由荷载所产生， 的自由项不再是由荷载所产生，而是由上述因素 产生的基本体系在多余未知力方向的位移。 产生的基本体系在多余未知力方向的位移。
§7.10 支座移动时超静定结构 的计算
对于静定结构，支座移动时将使其产生位移， 对于静定结构，支座移动时将使其产生位移， 但并不产生内力。 但并不产生内力。例如
A B C
超静定结构当支座移动时， 超静定结构当支座移动时，发生位移的同时 将产生内力。 将产生内力。
A B C
用力法分析超静定结构在支座移动时的内力， 用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原 理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。 理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。 可建立典型方程如下： 可建立典型方程如下： 例如图示刚架， 例如图示刚架，
仅满足平衡条 件，就能说明 最后内力图是 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相 正确的吗？ 正确的吗？ 对于刚架， 符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的 最后弯矩图相乘， 最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移 相符。 相符。例如 检查A支座的水 检查 支座的水 平位移 △1是否 为零。 为零。 将M图与 图与 相乘得
•应选一个便于计算的基本体系虚拟单位 荷载。 荷载。
任取一基本结构，求超静定结构的位移 一基本结构，求超静定结构的位移
∆ Ky
1 a2 5 3 1 1 3 15 = × × × Pa + × [ × ( Pa + Pa) EI1 8 6 88 2 EI1 2 88 88 a 1 Pa a 3Pa 3 ×a − ]=− (↑) 2 2 4 2 1408 EI1
C
a 2 Pa 2
K I1 I2=2I1
B
6/44×a ×
P=1 K 8/44×a ×
原
a
3/44×a M K图 ×
A
•因为原结构在外因作用下产生的受力和位移， 因为原结构在外因作用下产生的受力和位移， 因为原结构在外因作用下产生的受力和位移 与基本体系在外因和多余未知力作用下产生 的受力和位移相同。 的受力和位移相同。 •求原结构的位移可转化为求基本体系的位移。 求原结构的位移可转化为求基本体系的位移。 求原结构的位移可转化为求基本体系的位移 虚拟的单位荷载可加在基本体系上。 虚拟的单位荷载可加在基本体系上。 •虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上， 虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上， 虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上 单位弯矩图虽然不同，但求得的位移相同。 单位弯矩图虽然不同，但求得的位移相同。