第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠ！Re Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：Z =边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。

c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。

/y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ\2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒aK=⎰Ⅰ、令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22()cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12(aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =#又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==σ⇒sin()sincos cossin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+cos sin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbbbπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ！=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.sin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):；lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =、τ*§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) |σ1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+=⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:<1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内.222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有222221111222222211(1)(1)x z x z y y a c f a f c '=-+=--'''++ }2222221111112222221(12)(12)12()x z x z x z f f f a c a c a c----=--++2f =2222200022(1)2y fy f f y fy ''⇒==+又f =⇒2y '=设各边缘的法向平面为平面应变,有:31)sin sin ]22v k θθ=+- 其中34k μ=-当θπ=时24(1)v K E μ-=222216(1)2I r K E μπ-⇒=:22021E ()41I K y acπμ⇒=-又202(1)ay E μσϕ-=14122222()(sin cos )I a K c a cϕϕφ⇒=+在椭圆的短轴方向上，即2πϕ=，有I ImaxK K φ== 危险部位 →椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当a c =时→圆片状裂纹，2πφ=2I K π⇒=#§2-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面浅裂纹的应力强度因子当aB （板厚）→线裂纹⇒可以忽略后自由表面对A 点应力强度的影响—欧文假设：半椭圆片状表面线裂纹I K 与深埋椭圆裂纹的I K 之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的I K 值之比。

I I I I K K K K =表边埋中又有：1220.1sin(1)tanI I AK W A K Wππ=+边中其中：A ----裂纹长度；W---板宽度 当1A W 时22sin A A W W ππ≈，tan A A W Wππ≈1.1I I K K ⇒≈≈边中1.1I I K K ⇒=表埋1.1I I K K ⇒==埋表→椭圆片状表面裂纹A 处的I K 值二、表面深裂纹的应力强度因子:深裂纹：引入前后二个自由表面⇒使裂纹尖端的弹性约束减少⇒裂纹容易扩展⇒I K 增大()I IK Me K ⇒=⋅表面（埋藏） 其中：Me —弹性修正系数，应大于1，由实验确定 一般情况下12Me M M =⋅其中：1M —前自由表面的修正系数2M —后自由表面的修正系数关于Me 表达式两种形式的论述 1. 巴里斯和薛a ．0a c →时⇒接近于单边切口试样1 1.12M =b ．1a c→时⇒接近于半圆形的表面裂纹11M =利用线性内插法110.12(1)aM c=+-%利用中心穿透裂纹弹性件的厚度校正系数⇒ 1222(tan )2B a M a Bππ=B —板厚a —裂纹深度 c —裂纹长度当aB 时21M ≈⇒浅裂纹不考后自由表面的影响2. 柯巴亚希.沙.莫斯2110.12(1)2a M c=+-1222(tan )2B a M a Bππ=⇒表面裂纹的应力强度因子（应为最深点处）：I K =】|§2-4 其他问题应力强度因子的计算一、 Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算 复变数：iy x z +=，iy x z -=取复变解析函数：()x z p iq =+，11()z p iq ψ=+取应力函数：2()()()()z z zx z zx z ϕψψ=+++或Re[()()]z zx z ϕψ=+⇒满足双调和方程分析第一应力不变量：22'224Re[()]x y x z x yϕϕσσ∂∂+=+=∂∂ （推导过程略）对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：'Re Im x I I Z y Z σ=-， 'Re Im y I I Z y Z σ=+⇒ ||0||0|0()2Re 2x y IIZ ξξξσσ→→→+==Ⅱ型：'2Im Re x II II Z y Z σ=+ 'Re y II y Z σ=-—000()|2Im |2|x y Z ξξξσσ→→→⇒+==ⅡⅡ⇒Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量.000()|2|2|x y ξξξσσ+→→→+=+ⅠⅡ02)]|K iK ξ→⇒-ⅠⅡ 取复数形式的应力强度因子.K K iK =-ⅠⅡ00()|2|x y ξξσσ+→→⇒+=ⅠⅡ 又()4Re[()]x y x Z σσ'+=lim ()K Z ξ→'⇒=若采用z 坐标:()z aZ a K Z ξ→'=-⇒=选择()x z '满足具体问题的应力边界条件.⇒这种方法利用普遍形式函数求解应力强度因子. '1144()()()()f F Z F Z ZF Z ZF Z =+++ (14(),()F Z F Z 为解析函数)---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式(或复变应力函数为普遍形式). 利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题. 二、有限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算实际情况:应看成有限宽计算.→必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响.→在理论上得不到完全解.→通过近似的简化或数值计算方法→数值解.方法:边界配置法,有限单元法等.针对有限宽板问题:寻找一个满足双调和方程和边界条件的应力函数或复变解析应力函数.边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定K 值.边界配置法:计算平面问题的单边裂纹问题,只限于讨论直边界问题. 以三点弯曲试样为例进行说明.(1)威廉氏(Williams)应力函数和应力公式 。