切比雪夫插值
Chebyshev多项式(page59) n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
当n 0时，T0 ( x) 1; 当n 1时，T1 ( x) cos(arccos x) x; 当n 2时，T2 ( x) cos(2arccos x)
1
0 .5
0
-0 . 5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6/18
5
1 f ( x) 例1. 函数 x ∈ [-5, 5] 2 1 x 取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 f (11) ( n ) f ( x ) L10 ( x ) 11 ( x )
11 !
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
y arccos x

cos(2 y) 2cos 2 y 1 2 x 2 1;
n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
性质1：Tn+1 ( x) 2 xTn ( x) Tn 1 ( x); 性质2： deg(Tn ( x)) n, 且首项系数是2 ; 性质3：Tn ( x)在[-1,1]上的最大绝对值是1. 性质4：Tn ( x)的n个零点全部位于[-1,1]，且 i xi cos( ), i 1,3,..., 2n 1. 2n
11(x)
4/18
在[-5, 1) xk 5 cos( ) ( k=10, 9, 8, · · · , 1, 0 ) 22
-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491 1.4087
n 1
怎样选取节点x0 , x1 ,..., xn能使
1 x 1
max ( x x0 )( x x1 )...( x xn ) 尽可能的小？
定理：在[-1,1]上，在首项系数为1的一切多项式 Pn ( x) 中， 1 T ( x)的最大值最小。即 n -1 n 2 1 1 = max | Tn ( x)| max |Pn ( x)|,首项系数为1的n次多项式Pn ( x)。 n -1 n -1 1 x 1 2 1 x 1 2
公式很重要
如果插值区间是[a,b],可以通过移动节点使得相对位置一样。
ba ba (2i 1) xi cos , i 0,1, 2 2 2(n 1)
, n.
n
ba 2 max ( x x0 )( x x1 )...( x xn ) = n a x b 2
11(x)=(x – x0)(x – x1)(x – x2)· · · · · · (x – x10)
11(x)
5/18
1 .2
1
插值函数L10(x)取 切比雪夫结点插值
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 . 2 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
插值函数L10(x)取 等距结点插值
1 .5