初中/高中数学备课组
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主课题：反函数
教学目标：1.通过实际问题导出反函数的概念
2.会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的反函数）
3．掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学重点：1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、值域的关系
函数 的定义域是它的反函数 的值域；函数 的值域是它的反函数
的定义域
函数
反函数
定义域
Dห้องสมุดไป่ตู้
A
值域
A
D
2. 反函数的求法
求反函数 的三个步骤：
（1）倒解方程（由 解出x）
（2）交换字母x，y（在上述表达式中将x，y互换）
（3）注明定义域（反函数的定义域是原函数的值域）
知识点一：求原函数的反函数
例1求下列函数的反函数
一般地，对于函数 ，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使 ，这样得到的x关于y的函数叫做 的反函数，记作 .在习惯上，自变量常用x表示，而因变量用y表示，所以把它改写为 （ ）
从反函数的概念可知：如果函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 ，这就是说函数 与 互为反函数.
2. 掌握求原函数反函数的一般方法
3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
4.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学难点：1. 掌握求原函数反函数的一般方法
2. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
3.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
考点及考试要求：
（2）反函数的图像是否经过点（0,1）？反函数的图像与y=x有无交点？
（3）设反函数 ，求不等式 的解集
解：（1）f(x)在 上单调递增，所以有反函数， （ ）
（2）过（0，1），无交点（利用 无解）
（3）
7.已知函数
（1）求 的表达式
（2）设 ，求g(x)的最小值及相应的x值
（1）
（2）当 时，
8.已知 ，
1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、值域的关系
2. 掌握求原函数反函数的一般方法
3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
4.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
一、新课讲解
1.反函数的概念
问题1：（1）走进一家2元商店，买x件商品需要多少钱？
（2）量力而行，现有20元钱，能买几件商品？
（3）若有y元（2的倍数）能买几件？
问题2：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,
其中速度v是常量。
反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即 ，则t是s的函数
问题3：在函数 （ ）中，x是自变量，y是x的函数。从中解出x，得 （ ）.这样，对于y在R中任何一个值，通过式子 ，x在R中都有唯一的值和它对应。所以，x为y的函数，
（2）若D= ，且f(x)存在反函数，求a的取值范围
解：（1）不存在，二次函数对称轴为x=1，函数在区间D=[-3，2]不是一一对应的
（2）
3.原函数图像与反函数图像的关系
求函数 的反函数，在同一坐标系中画出 和其反函数图像，你能发现什么现象？
一般地，函数 的图像和它的反函数 的图像关于直线y=x对称
二、选择
10.函数 在下列区间不存在反函数的是（A）
A [-1，1] B [0，1] C D
11.若函数 存在反函数，则方程f(x)=m（m为常数）（C）
A有且只有1个实根B至少有一个实根C至多有一个实根D没有实数根
12.函数 的反函数是（C）
A B C D
13.设函数 ，则函数 的图像是（B）
A B
C D
三、解答题
14.设f(x)是一次函数，且f(1)=1，f[f(2)]=2 ，求f(x)的解析式
解:设y=kx+b
则
所以
15.求函数 的反函数
解：
16.已知函数 ，求f(x)的反函数 ，并求出反函数的定义域
解： （ ）
（1）求f(x)的反函数及其定义域
（2）判断 的单调性
（3）若不等式 对区间 恒成立，求实数 的取值范围
解：（1）
（2）单调递增
（3）
【自我测试】
一、填空题
1.函数 的反函数是___ _____
2.函数 的反函数是___ _____
3.函数 的反函数是__ ____
4.若函数 的反函数图像过点（m，27），则m的值为____3______
（1） （2）
（3） （4）
解：（1） （2）
（3） （4）
例2 若 ，求反函数
解：令 ，则
例3求函数 的反函数
解：求分段函数反函数，即在给定的各个定义域上求反函数
得
知识点二：反函数存在的条件
从反函数的定义可知，函数 存在反函数，则在定义域上x与y一一对应
例4已知函数 的定义域为D
（1）若D=[-3，2]，问f(x)是否存在反函数？为什么？
5.已知函数 的反函数 ，则实数a=____-1_____
6.若点(1，3)同时在函数 及其反函数的图像上，则当x=2时，y=__ ____
7.已知 的反函数为 ，若 的图像过点Q（5,2），则b=_1_
8.要使函数 在[1，2]上存在反函数，则a的取值范围是__ _____
9.若函数 的图像经过点（0，-1），那么函数f(x+2)的反函数的图像经过点_（-1，-2）_，函数 的图像必经过点___（-2，0）______
也就是说，对于在 图像上的任意一点（a,b），则（b,a）在其反函数图像上
画出函数 关于直线y=x的对称图像， 有反函数吗？
对自变量加上什么条件才能有反函数？
知识点三：反函数性质的应用
例5 已知 ，求
解：利用反函数图像性质，令 ，x=-2(因为 ，x=2舍去)
所以 =-2
例6（1）已知 的图像过定点_（2，6）_,其反函数的图像过定点__（6，2）__
A B
C D
2.函数 的反函数是（C）
A奇函数，在 上是减函数B偶函数，在 上是减函数
C奇函数，在 上是增函数D偶函数，在 上是增函数
3.已知 ，点P（-2，-4）在它的反函数的图像上
（1）求这个反函数 的表达式
（2）判定这个反函数在其定义域内的单调性
解：（1）
（2）当 时，反函数单调递减
4.已知函数 ，函数y=g(x)的图像与 的图像关于直线y=x对称，求g(x)的表达式
有一位同学给出如下解法：
因为y=g(x)与 的图像关于直线y=x对称，所以y=g(x)是 的反函数.而 的反函数是y=f (x-1)，
这个解答正确吗？请说明理由
解：不对， 的反函数不是y=f (x-1)
， 的反函数是它本身
所以
5.若函数 与其反函数的图像有公共点，求m的取值范围
解：
6.
（1）证明：函数f(x)有反函数，并求出反函数
（2）已知 的图像过点（3，-1），
则 的图像过点___（1，-1）______； 的图像过点__（-1，3）_______；
的反函数图像过点__（-1，1）___； 的图像过点__（-3，3）____
【能力提高】
1.定义在R上的函数f(x)的最小正周期为T，若函数 时有反函数 ，则函数 的反函数为（B）