经济数学模型
第四章 微积分应用模型
4.2 问题
最优价格模型
经济数学模型
在商品生产的成本函数和市场的需求函数均已知 条件下，在产销平衡条件下如何确定商品价格，使 利润最大。
L p R p C p
使利润 L(p)最大的最优价格 p*满足
dL dp
0
p p*
dR dp
p p*
成正比。
经济数学模型
在实际问题中，价格的制定是非常复杂的， 有许多因素都在影响着最优价格，并没有一成 不变的公式，须针对具体情况采用灵活的数学 模型和方法确定。
4.3
问题
消费者均衡
经济数学模型
消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的资金 来购买这两种商品，以达到最大的满意度。
x( p) a bp, a, b 0
收入 R( p) px 支出
C( p) qx
经济数学模型
R( p) px
C( p) qx
L( p) R( p) C ( p)
x( p) a bp
*
( p q)(a bp)
q a p 2 2b
经济数学模型
4.4
生猪的最佳出售时机
问 饲养场每天投入c元资金，用于饲料、人力、设备， 题 估计使当前w千克重的生猪体重增加r公斤。
市场价格目前为每千克p元，但是预测每天会降 低 g元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
• 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比 与二者价格之比的平方根成正比。 • U(q1,q2)中参数 , 分别表示消费者对甲乙 两种商品的偏爱程度。
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2. U q1 q2 , 0 , 1

p1q1 p2 q2
U q1 p1 U p2 q 2
建模及求解
生猪的增长速度r， 收购价格降低速度g
经济数学模型
若当前出售，利润为wp（元）
t天 出售 生猪体重 w t=w+rt 出售价格 pt= p-gt
销售收入为
R(t ) ( p gt )(w rt )
C t = ct
资金投入
纯利润应扣掉以当前价格（p元/公斤）出售w公 斤的收入，得到t天后出售所获纯利润函数为
L p(t ) R p C p dt 0 ( p q)(a bp) dt 0
T T
约束条件为：

T
0
(a bp) dt =G
经济数学模型
上式为p(t)的泛函，利用拉格朗日乘子法把上述条件极 值转化为无条件极值。 拉格朗日函数为
模型 已知价格 p1,p2,资金 s, 及 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 求解 使 U(q1,q2)最大
L U (s p1q1 p2q2 ),
L qi 0 (i 1, 2)
max Z U (q1 , q2 ) s.t. p1q1 p2 q2 s
*
(rp wg c 0）
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研究 r, g变化时对模型结果的影响.设g为常数 ，t 对r 的 （相对）敏感指标为
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t
* dt r wg c * S t , r * = (rp wg c 0） * dr t 2 grt
* 1
显然 p2* p1* ，所以后半期的售价高于前半期的售价。
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若在销售期T内要求总销量达到Q0,即
1 整理得 Q0 aT bT ( p1 p2 ) 2
Q0 (a bp1 )dt T (a bp2 )dt
2
T 2 0
T
求两阶段的最优价格是有一个约束条件的最值问题，拉格朗日函 数为 1 F L( p1 , p2 ) [aT bT ( p1 p2 ) Q0 ] 2 令
C( pi , t ) qx (q0 + t )(a bpi )
T 2 0 T
i 1, 2
i 1, 2
利润为 L( p1 , p2 ) [ R( p1 ) C ( p1，t )]dt T [ R( p2 ) C ( p2，t )]dt
2
经济数学模型
L( p1 , p2 ) ( p1 q0 t )(a bp1 )dt T ( p2 q0 t )(a bp2 )dt
设r为常数 ，t 对g的（相对）敏感度为
* dt g c rp * S t , g = (rp wg c 0） * * dg t 2 grt
经济数学模型
当生猪目前体重w为80公斤，每天投入费用c= 4元，市 场价格为p=8元/公斤 ，估计生猪每天体重的增加速度为 r=2公斤/天 ，销售价格的降低速度g为0.1元/天 t*对参数r敏感程度为
U U 2U 2U 2U B. 0, 0, 0, 0, 0 2 2 q1 q2 q1 q2 q1q2
B A
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例子
1. U (

q1


q2
) , , 0
1
p1q1 p2 q2
p1 p2
U q1 p1 U p2 q2
x( p) a bp, a, b 0
与“绝对需求量”成正比，与市 场需求对价格的敏感系数成反比
q a p 2 2b

成本q的一半
p 0, x(0) a为绝对需求量； dx b 为边际需求，反映需求对价格的敏感程度。 dp
b p * a p*
（a,b由p,x的统计数据拟合或其他统计方法确定。)
可近似表为(
e 1 t )
t
a G q0 t p = b bT 2
*
从上式看出，商品销售最优价格近似由3部分构成：第一部 分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比；第 二部分随销售时间T的增加而提高，随总销售量G的增加而降
低；第三部分与初始成本q0、成本的相对增长率 及时间都
2
T 2 0
T
(a bp1 )
T 1 T 3 ( p1 q0 T ) (a bp2 ) ( p2 q0 T ) 2 4 2 4
L 0 p1 L 0 p2
令
整理得
1 T a p ( q0 ) 2 4 2b 1 3 T a * p2 ( q0 ) 2 4 2b
0
1
l2
s/p1 q1
·
N
结果 解释
U U , q1 q 2
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——边际效用
消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们 价格之比时达到。
U q1 p1 U p2 q 2
构造效用函数U(q1,q2) 应满足的条件
U1 U 2 即 p1 p2
A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸
p q p q 直线 MN: 1 1 2 2 几 何 最优解Q: MN与 l2切点
解 斜率 K MN p1 / p2 释 dq2 U U K l2 / dq1 q1 q2
s
q2 s/p2 M
U q1 p1 U p2 q2
U(q1,q2) = c
·
· l
Q
l3
dC dp
p p*
最大利润在边际收入等于边际支出时达到
分各种情况讨论 R p 、C p 的具体形式
经济数学模型
第一种情况
假设 1）产量等于销量，记作 x
2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格
3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 进一步设需求函数为
L( p(t )) ( p q)(a bp) dt ( (a bp)dt G)
T T 0 0
令
L( p(t )) 0, p
L( p(t )) 0
解得最优价为
a G p = b bT
*
虽然价格p是时间t的函数，但最优价格是常数。它由两 部分构成：一部分与绝对需求量成正比，与市场对价格的 敏感系数b成反比；另一部分随销售时间T的增加而提高， 随总销售量G的增加而降低。
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第五种情况
商品在销售过程中受存贮费和变质损失费等诸因素的影响， 价格p和成本q都会随着时间变化，即p和q都是时间的函数：
p p(t )
q q(t )
为简单设成本q随时间相对增长率为 ，初始时刻的成本 为 q0 ，即成本函数满足以下微分方程
dq q dt q (0) q0
q2 U(q1,q2) = c
设甲乙数量为q1,q2, 消 费者的无差别曲线族 (单调减、下凸、不相 交）记作 U(q1,q2)=c
l3
0
U(q1,q2) ~ 效用函数
l1
l2
q1
已知甲乙商品的价格 p1,p2, 资金量 s，购买甲 乙数量 q1,q2,试分配s,使 U(q1,q2)最大.
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L(t ) R(t ) C(t ) pw ( p gt )(w rt ) ct pw
经济数学模型
问题归结为求t≥0，使L(t)达到最大。这是求
二次函数最大值问题，用微分法容易得到
rp wg c t 2rg
*
(rp wg c 0）
例如当生猪目前体重 w为80公斤，每天投入费用 c为4 元，市场价格p为8元/公斤 ，估计生猪每天体重的增加 速度r为2公斤/天 ，销售价格的降低速度g为0.1元/天 ，