存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文空间两异面直线距离的若干求法系别数学与信息科学系届别 2014届专业数学与应用数学学号 1020151224姓名刘禹伟指导老师陈海莲完成日期目录内容摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)Key words (1)1、引言 (2)2、空间两异面直线的相关概念 (2)2.1、空间两异面直线的概念 (2)2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2)3、求异面直线距离的常用方法 (3)3.1、直接法 (3)3.2、线面距离法 (4)3.3、面面距离法 (4)3.4、等体积法 (5)4、求解异面直线间距离的其他方法 (6)4.1、运用极值法 (6)4.2、公式法 (7)4.3、射影面积法 (9)5、分析比较求解方法 (10)6、结语 (11)致谢 (12)参考文献 (13)内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。
本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。
在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。
比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。
关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face.Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry1、引言求异面直线的距离是立体几何的一个难点，主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们克服这一难点，下面介绍异面直线的概念、异面直线间距离的概和异面直线间距离的求法。
2、空间两异面直线的相关概念[1]在空间上,两条直线的位置关系有平行、相交和异面，下面我们着重来介绍空间两条异面直线的相关概念。
2.1、空间两异面直线的概念[2]定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
特点：既不平行，也不相交。
判定方法：（1）定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内。
（2）定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，是异面直线。
2.2、空间两异面直线间距离的概念[3]两条异面直线的距离的定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；公垂线段的长度d，叫做两条异面直线的距离。
其中，两条异面直线所成的角的定义：直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。
角可取的范围在(0，π/2]。
两条异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。
两条异面直线的公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。
两条异面直线的公垂线，有且只有一条。
理解这些概念，有助于理解异面直线间距离的求法。
3、求异面直线距离的常用方法求解异面直线间距离的方法有许多,一般常用的方法有四种，分别为直接法、线面距离法、面面距离法，等体积法，下面详细介绍这四种方法。
3.1、直接法根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。
例1 （1999•广东）如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC//D1B，且平面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求异面直线A B11与AC之间的距离。
解：连结DB，设DB交AC于点O由题设知ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱则A1A⊥底面ABCD，即A1A⊥AC,而A1A⊥A1B1所以A1A是异面直线A1B1与AC的公垂线段由题意分析知∠ DOE为平面EAC与底面 ABCD所成的角则∠DOE=45°又∵截面EAC//D1B，且平面D1BD与平面EAC的交线为EO∴D1B//EO，∠DBD1=∠DOE=45°∴D1D=DB=2a∵AA1=D1D∴异面直线A1B1与AC之间的距离为2a3.2、线面距离法选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。
例2 （2004•江苏）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=3，AA 1=4，求异面直线AB 与A 1C 间的距离。
解：如图所示，连结A 1D由AB//DC ，得AB//平面A 1DC故AB 到平面A 1DC 的距离即为AB 与A 1C 间的距离又平面A 1D ⊥平面A 1DC 及平面A 1D ⊥AB故可在平面A 1D 内过A 作AE ⊥A 1D 于点E则AE 为AB 到平面A 1DC 的距离即为异面直线AB 与A 1C 间的距离。
由AD ⊥ AA 1=A 1D ⊥AE 可得AE =1253.3、面面距离法选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，再根据所画平面作出另平行面,两异面直线分别在两个平面上,求两平行面间的距离。
例 3 （2004•广州一模）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1D 与AC 间的距离。
解：A 1C 、C 1D 、AB 1、B 1C,A 1D 与AC 分别在两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 内，则A 1D 与AC 间的距离就是两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离。
连结BD ，且交AC 于点O ，作OO 1⊥平面AC 交平面A 1C 1于O 1连结DO 1，作OE ⊥DO 1于E可知OE 为两平行平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离在Rt △DOO 1中，OO 1=1，DO=22 ,DO 1=62∴OE=OO1133DO DO = ∴异面直线A 1D 与AC 间的距离为333.4、等体积法在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为(1)一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离．(2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离．上述两种距离总是通过直线上(或平面上)一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等积计算再求高的办法来求得的．例4 （2004•江西）如图4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求AC 与BC 1的距离．解：连接A 1C 1，A 1B ，C 1A ，∵AC ∥A 1C 1，∴AC ∥平面A 1BC 1，则求AC 与BC 1的距离转化为求AC 与其平行平面A 1BC 1的距 离．也就是三棱锥A －A 1BC 1的高h ．而1111A A BC C ABA V V --= 即2213112a h=a a 3432⋅⋅⋅（）（） 3h=a 3∴ 由上可知，等积法与作辅助平面法紧密相连，它是以辅助平面为底，与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成一个三棱锥，若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积，便可利用等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高，即异面直线间的距离．4、求解异面直线间距离的其他方法一般的解题方法就是上述四种，这些都是基础的，比较容易掌握。
下面我们来结合解析几何的思想，利用其求解空间两异面直线间的距离。
4.1、运用极值法求异面直线a 、b 的距离是先在a(或b)上取点A ，过A 点作AB ⊥b ，设某一线段为x ，列出AB 关于x 的函数表达式AB ＝f(x)，求出AB 的最小值，就是所求异面直线间的距离．其理论依据是两异面直线间的距离是连接两直线中最短线段的长．例5（2004•浙江）如图5，圆锥底面半径为R，母线长为2R，AC为轴截面SAB的底角A的平分线，又BD为底面的一条弦，它和AB 成30°的角，求AC与DB之间的距离．解：在AC上任取一点E，作EF⊥AB，垂足为F，则EF⊥底面．设EF＝x∵△SAB是正三角形(AB＝SA＝SB＝2R)∴∠ CAB=30。
，AF=3X∴FB=2R-3X在底面内作FG⊥ BF，FG=BF⋅ sin30=12（2R-3X）∴EG2=EF2+FG2=X2+(R-32X)2=74(X-237R)2+47R2∴EGmin =277R即为所求。