MATLAB 在非线性曲线拟合中的应用小结
摘要:归纳总结了非线性曲线拟合的方法、求解步骤和上机操作过程 关键词:曲线拟合非线性MA TLAB
正文：
1．曲线拟合的基本原理
已知一组测定的数据（例如N 个点（xi,yi ）去求得自变量x 和因变量y 的一个近似解析表达式y=φ（x ）。
若记误差δi=φ（xi ）-yi ，i=1，2，…N ，则要使误差的平方和最小，即要求：
∑==
N
i i Q 1
2δ
为最小，这就是常用的最小二乘法原理。
2 .MATLAB 曲线拟合的相关方法 2.1.函数形式：
（1）多项式拟合函数polyfit ，调用格式为： p=polyfit （x,y ,n ）
其中x ，y 为参与曲线拟合的实验数据，n 为拟合多项式的次数，函数返回值为拟合多项式的系数（按降幂排列）。
n=1时，就为线性拟合。
例1：给出表1数据，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。
表1 数据
在MATLAB 命令窗口中输入： clear; close; x=-1:0.25:1;
y=[-0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4.2836] p1=polyfit(x,y ,1) p2=polyfit(x,y ,2) y1=polyval(p1,x); y2=polyval(p2,x);
plot(x,y ,'+',x,y1,'r:',x,y2,'k-.') 运行结果：
拟合多项式为：y*=2.0516+2.0131和y*=0.0313x2+2.2516x+2.20001 （2）非线性数据拟合函数lsqcurvefit 调用格式为： c=lsqcurvefi （t'fun',x0,xdata,ydata ）
其中'fun'为拟合函数的M -函数文件名，x0为初始向量，xdata,ydata 为参与曲线拟合的实验数据。
函数返回值c 为非线性函数fun 的拟合系数。
例2：2004年全国大学生数学建模竞赛C 题（酒后驾车）中给出某人在短时间内喝下两瓶啤酒后，间隔一定的时间测量他的血液中酒精含量y （毫克/百毫升），得到数据如表2。
表2 酒精含量与饮酒时间的实验数据
通过建立微分方程模型得到短时间内喝酒后血液中 酒精浓度与时间的关系为：
)(321t
c t
c e
e
c y ---= （2）
根据实验数据，利用非线性拟合函数lsqcurvefit ，确定模型（2）式中的参数c1，c2，c3。
求解过程为：
先编写一个M -函数文件Example2_1： function f=Example2_1(c,tdata)
f=c(1)*(exp(-c(2)*tdata)-exp(-c(3)*tdata)); 保存后，在命令窗口中输入： clear
tdata=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; ydata=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 8 15 12 10 7 7 4]; c0=[1 1 1];
for i=1:50;
c=lsqcurvefit('Example2_1',c0,tdata,ydata); c0=c; end
得到最优解为：c= 117.05,0.1930,1.9546 从而得出拟合曲线：
)(05.1179546.11930.0t
t
e
e
y -=
2.2.图形窗口形式
（1）利用多项式拟合的交互图命令（GUI ）polytool ，调用格式为：polytoo （lx,y ） 其中x,y 分别为实验数据构成的向量，例如利用polytool 求解例1的MA TLAB 命令如下： x=-1:0.25:1
y=[-0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4.2836]; polytool （x,y ）
打开多项式拟合的交互式界面，由于要拟合的函数为线性函数，因此在多项式拟合交互式界面中的Degree 中输入1，点击导出数据Export ,出现保存对话框ExporttoWorkspace ,选中Parameters （参数）,Residuals （残差）后点击OK ，在MA TLAB 的Workspace 窗口中可以看到参数为：2.2516和2.0131，即拟合函数为 Y*=2.2516x+2.0131。
同样如果拟合的函数为二次函数，则只要在Degree 中输入2，其它步骤相同，可得拟合函数为：
Y*=0.0313x2+2.2516x+2.0001
通过查看Residuals （残差）值，可以发现二次函数拟合的残差值比线性函数的要小一些，从拟合的效果看，可以选择二次函数作为拟合函数，但由于线性函数较简单，残差值也很小，从简单出发，也可选择线性函数作为拟合函数。
（2）基本拟合界面
MATLAB 提供了一个方便简洁的拟合界面。
具有拟合快速和操作简便的优势，只能拟合多项式。
例如用基本拟合界面求解例1的过程如下： clear; close; x=-1:0.25:1;
y=[-0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4.2836]; plot(x,y ,'+'); 运行结果：
在散点图的图形窗口上分别点击菜单档中的ToolsBasic Fitting,在Plots Fits中分别选中linear、quadratic、Show equations、plot residuals、show norm of residuals，所得拟合直线方程为：y*=2.3x+2；
拟合二次多项式为:
Y*=0.031x2+2.3x+2
（3）曲线拟合工具界面cftool
曲线拟合工具界面cftool是一个可视化的图形界面，具有强大的图形拟合功能，下面通过一个具体例子来介绍cftool的用法。
例3某生化系学生为研究嘌呤霉素在某项酶促反应中对反应速度与底物浓度之间关系的影响，设计了一个实验，所得的实验数据见表3。
根据问题的背景和数据建立一个合适的数学模型，来反映这项酶促反应的速度与底物浓度之间的关系。
表3 嘌呤霉素实验中的反应速度与底物浓度数据
酶促反应的速度y与底物浓度x之间的关系可用下面两个简单模型描述：
Michaelis-Menten模型：
y=f （x,β）=
x
x ++321βββ (4)
指数增长模型：y=f(x,β)=β1（1-e x β,） （5）
使用曲线拟合工具界面cftool 来确定模型（4）和（5）中的参数，并比较模型（4）、（5）的拟合效果。
在MATLAB 命令窗口中输入以下语句： clear; close;
x=[0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1.10]; y=[76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200]; cftool(x,y);
在″Curve Fitting Tool ″对话框中单击″Fitting ″，打开″Fitting ″对话框，点击″New fit ″，在″Fit Name :″中输入″有理函数″，在″Type of fit ″中选中″Rational ″，在″Numerator ″中选中″linear polynomial ″，在″Denominator ″中选中″linear polynomi al ″，然后点击″Apply ″，完成有理函数拟合。
然后，再次点击″New fit ″，在″Fit Name:″中输入″指数函数″，在″Type of fit ″中选中″Custom Equation ″，点击″New equation ″,打开用户自定义方程对话框，点击″General Equation ″，在″Equation ″中输入″y=a*(1-exp(-b*x))″，点击″Ok ″后回到拟合窗口，点击″Apply ″，完成指数函数拟合，参数计算结果见表4。
表4 模型(4)、(5)计算结果
拟合图为：
通过表4可以看出，有理函数（Michaelis-Menten模型）ys=221.7x+3.318x+0.1047拟合剩余标准差较小，R-square较大（越接近1越好），故用有理函数ys=221.7x+3.318x+0.1047拟合数据比用指数函数ys=192.1（1-e-11.38x）拟合的效果好。
3结束语
利用MATLAB的绘图功能和曲线拟合功能，可以很方便地进行多项式拟合和其它非线性曲线拟合，并可以通过比较剩余标准差和可决系数R2的大小，来对比不同曲线的拟合效果。
从而在不知数学模型情况下，也能根据数据的散点图找出较优的曲线来拟合数据。
参考文献：
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