习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

5.六阶行列式展开式中含有因子23a 的乘积项共有多少项？为什么？解！5项，因为六阶行列式中每项是六个元素相乘，并且六个元素取自不同行不同列，23a 是取自第二行第三列的元素，所以其余五行从第一、二、四、五、六列里选取出其余的五个元素，共有！5种取法。

6．用行列式定义计算下列行列式．（1）0001100000100100；（2）dc b a 000000000000．解（1）在展开式43214321)1(p p p p a a a a ∑−τ中，不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=×××−．（2）在展开式43214321)1(p p p p a a a a ∑−τ中，不为0的项取自于a a =11，b a =23，c a =32，d a =44，而1)1324(=τ，所以行列式值为abcd abcd −=−1)1(．7.在函数xx x x x x x f 412412102132)(=的展开式中，4x 的系数是什么？解)(x f 中含x 因子的元素有x a 211=，x a =21，x a =22，x a =33，x a =41，x a 444=，因此，含有x 因子的元素i ij a 的列标只能取11=j ，212,=j ，33=j ，414,=j .于是含4x 的项中元素列下标只能取11=j ，22=j ，33=j ，44=j ，相应的4个元素列标排列只有一个自然顺序排列1234，故含4x 的项为4044332211(1234)842)1()1(x x x x x a a a a =⋅⋅⋅−=−τ，故)(x f 中4x 的系数为8.习题 1.31．判定下列等式或命题是否正确，并说明理由．（1）2221112221118222c b a c b a c ba cb ac b a c b a=；（2）222111222111c b a ck c bk b ak a ckbk ak c b a c b a c b a +++=；（3）如果n （1>n ）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例；（4）如果n （1>n ）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行元素全为零；（5）333222111333222111333332222211111e c a e c a e c a d b a d b a d b a e d c b a e d c b a e d c b a +=++++++．解（1）不正确，提取公因子是某一行（列）的元素有公因子；（2）不正确，222111222222*********c b a c b a c b ak c b a ck bk ak ck bk ak c b a c b a ck bk ak c b a ck c bk b ak a ck bk ak =+=+++；（3）不正确，0111210321=，但是没有两行元素对应成比例；（4）不正确，例子同上；（5）不正确，3333222*********22221111333332222211111e d c a e d c a e d c a e d b a e d b a e d b a e d c b a e d c b a e d c b a +++++++=++++++333222111333222111333222111333222111e c a e c a e c a d c a d c a d c a e b a e b a e b a d b a d b a d b a +++=．2．设0333231232221131211≠==a a a a a a a a a a D ，据此计算下列行列式．（1）131211232221333231a a a a a a a a a ；（2）333231232221131211555a a a a a a a a a ；（3）333231312322212113121111254254254a a a a a a a a a a a a −−−；（4）323233312222232112121311273227322732a a a a a a a a a a a a −−−−−−．解（1）a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a −=−↔33323123222113121131131211232221333231；（2）a a a a a a a a a ak c a a a a a a a a a 55)0(55553332312322211312113333231232221131211=≠÷，（3）333231232221131211333131232121131111333231312322212113121111242424545454254254254a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a −=−−−a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 880820333231232221131211333131232121131111−=−=−=．（4）32333122232112131132323233312222232112121311232232232c 27c 25732257322732a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−−−−−−−−a a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a c c c 121212)2(3233323123222113121132323331222321121311321=↔−÷÷÷．3．用行列式性质计算下列行列式．（1）111210321；（2）；ef cf bfde cd bdae ac ab−−−；（3）yx y x x y x yy x y x+++；（4）9876876554324321；（5）265232112131412−．解（1）0111210000111210321321=−−r r r ；（2）0202001321c eec b adf rr r r e c b e c b e c b adf ef cf bfde cd bdae ac ab−++−−−=−−−abcdef ec ec b adf r r 420002032=−−↔；（3）y x yx x y x y x y x yyx c c c y x y x x y x yy x y x222222321++++++++++xy y y xyx yy x r r r r −−−++−−00)(212232)22()()22(y y x x y x y x +−−+=)(2))((23322y x y x xy y x +−=−−+=；（4）098768765131197131197r r r r 98768765543243213241=++（5）000002321121314122605232112131412214=−−−−r r r ．4．把下列行列式化为上三角行列式，并计算其值．（1）3351110243152113−−−−−−；（2）107825513315271391−−−−−−−；（3）3214214314324321；（4）7222227222227222227222227．解（1）2113110243153351335111024315211341−−−−−−−↔−−−−−−r r 11101605510019182403351325141312−−−−−−−−−+r r r r r r 111016019182401120335155323−−−−−−↔÷r r r 2000320011203351533200760011203351581243432423−−−−−↔+−−−−−−+r r r r r r r r 402)2(215=×−×××−=；（2）78130210017251307139121078255133152713*********−−−−−−++−−−−−−−−−r r r r r r r 31224000210017251307139117324−=−−−−−++r r r ．（3）32142143143243213214214314321111104321r r r r +++321421431432111110423141213r r r r r r −−−12312112110123012101210111110321421431432111110423141213−−−−−−=−−−−−−=−−−r r r r r r 16016104400401211031312=×=−−−+−r r r r ；（4）500000500000500000501111115222272222272222272222272111111572222272222272222272222271514121354321r r r r r r r r r r r r r −−−−++++9375355555155=⋅=××××=5．用行列式性质证明下列等式．（1）322)(22111a b bb a a bab a −=+；（2）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ．解（1）左边2222321222221312)(2201)(22001a b a ab a a b ab a r r r r a b a b a a b a ab ac c c c −−−−↔↔−−−−−−=−=−−−=−−−−−3222222223)()(02001)(220012a b a b a ab a a b a a b a ab a a b a b a c c 右边（2）左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++−−−d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 062126212621262123222221312=++++−−d d c c b b a a c c c c 6.计算下列四阶行列式．（1）dc b a c b a b a ad c b a c b a b a a dc b a c b a b a ad c b a ++++++++++++++++++=3610363234232D ；（2）3351110243152113−−−−−−=D ．解（1）从第4行开始，后行减前行：c b a b a a cb a b a ac b a b a ad c b a r r r r r r +++++++++−−−363023*********D b a a b a a c b a b a a dc b a r r r r +++++−−300200023344340002000a a b a a cb a b a a dc b a r r =++++−．（2）2113110243153351335111024315211341−−−−−−−↔−−−−−−r r 11101605510019182403351325141312−−−−−−−−−+r r r r 111016019182401120335155323−−−−−−↔÷r r r 2000320011203351533200760011203351581243432423−−−−−↔+−−−−−−+r r r r r r r r 402)2(215=×−×××−=；7．计算下列n 阶行列式．（1）0)1(3210321102113011321−−−−−−−−−−−−−−n nn n nn nn L L MM M M M L L L ；（2）1121122112111211111−−−−−+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a L MM M M L L L ；（3）x y y y y x y y y y x y y y y x L M M M M L L L ；（4）nL M M M M L L L 001030100211111．解（1）0)1(3210321102113011321−−−−−−−−−−−−−−n n n n n n n n L L M M M M M L L L !0000210002)1(23002)1(262021321,,3,21n nn n nn nn n n n i r r i =−−−−=+L L M M M M M L L L L ；（2）1121122112111211111−−−−−+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a L M M M M LL L ∏−=−−==−111211211000000001,,3,2n i i n n i b b b b a a a n i r r L M M MM L L L L ；（3）xy y y y x y yyy x y yy y x L M M M M LL L xyy yx y y x y yx yy x y x y y y y x L M M M ML L L )1(n )1(n )1(n )1(n c c n 2i i 1−+−−+−+−++∑=ni r r i ,,21L =−yx 0000yx 0000y x 0yyy y x −−−−+L M M M M L LL )1(n )(])1(n [1n y x y x −−+=−；（4）nL MM M M L L L 001030100211111nc n c c c )1()31()21(321−++−+−+L ni ni L M M M ML L L 0003000020111112∑=−n i ni L 32112⋅⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∑=.习题 1.41．求行列式122305413−−中元素3和4的余子式和代数余子式．解3的余子式4221323=−−=M ，3的代数余子式4)1(233223−=−=+M A ．4的余子式10220513−=−=M ，4的代数余子式10)1(133113−=−=+M A ．2．已知70008341333231232221131211==a a a a a a a a a D ，求333231232221131211a a a a a a a a a ．解因为7)1(1000834133323123222113121111333231232221131211=−⋅==+a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ，所以7333231232221131211=a a a a a a a a a ．3．已知四阶行列式D 的第1行元素分别为4,3,2,1，而它们的余子式依次为1,2,2,1−−，求行列式D ．解将行列式D 按第一行元素降阶展开，有1414131312121111A a A a A a A a D +++=1511)(42)(1)(321)(21)(1)(143312111−=⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅=++++13=4．设四阶行列式的第2行元素分别为0,1,,2x ，它们的余子式分别为y ,2,6,2−，第3行的各元素的代数余子式分别为5,1,6,3，求此行列式．解因03424332332223121=+++A a A a A a A a ，即05011632=×+×++×x ，所以67−=x ．从而2424232322222121A a A a A a A a D +++=yx ⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=++++42322212)1(0)2()1(16)1(2)1(297262−=−−=+−=x ．5．按第3行展开并计算下列行列式．（1）5021011321014321−−−；（2）4004030300224321．解（1）原式501211431)1()1(502210432)1(33213−−⋅−+−−⋅=++021101321)1(0521201421)1()1(4333++−⋅+−−⋅−+24181218−=−+−=（2）原式0040223211)(04040224211)(34040024311)(04000024321)(343332313++++−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=921)1623(8324)(3−=−−×+−×=6．已知四阶行列式5215341208131711−−=D ，求44342414A A A A +++及44434241M M M M +++的值，其中ij M 、ij A 分别为行列式D 中元素ij a 的余子式和代数余子式．解（1）由于44342414443424141111A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅=+++相当于用1,1,1,1代替D 中第4列元素所得的行列式，由行列式按行（列）展开定理知44342414A A A A +++1215141218131711−=00504030301021711141213=−−−−−−r r r r r r 同样11113412081317114443424144434241−−−−=+−+−=+++A A A A M M M M 682824331121)(280243031102171121141213−=−−−−−=−−−−−−−+r r r r r r 。