第二章 采动地表移动变形预计重点：①预计理论体系概况；②概率积分法。

基本含义、基本概念、应用条件、应用方法、分布规律、特征值的确定方法，极值公式及计算、按特征值绘制移动变形分布图。

③半无限开采及半无限叠加方法； ④地表任一点移动变形预计方法；⑤动态移动变形与静态方法的区别及其评价方法。

2.1 地表移动和变形预计理论方法概述开采沉陷损害预计理论，可以概括为影响函数方法，理论模型方法，经验方法三大类型。

2.1.1 影响函数方法①国内外学者及理论应用情况；②假定开采单元矿层dv,其水平投影面积为dp,单元矿层开采引起地表点A 的下沉表达式为：dp s f m dw a )(η=（2-1）③影响函数的可叠加性；根据影响函数的叠加原理，对于开采范围为P 的矿层开采引起地表点A 的下沉量的通式表示为： ⎰⎰=Pa dp s f m w )(η（2-9）2.1.2 经验方法①前苏联应用的负指数函数方法；②英国煤田方法（NCB.1975）；③波兰学者Z.Kowalczyk (1972)积分网格法；④中国学者何国清提出的威布尔分布法；⑤各矿区通过观测曲线拟合得出的适用本矿区的典型剖面曲线法等。

2.1.3 理论模型方法属于理论模型方法是建立在力学模型上的，以及建立在弹性或塑性理论基础上的计算方法。

在这方面主要有以A.Salstowicz （1958）等为代表的固体力学理论；J.Litwiniszy （1963）等为代表的随机介质理论。

建立在弹性或塑性理论基础上的计算方法如：有限单元法（FEM ）；边界元法（BEM ）；离散元(DEM)等方法；非线性力学（Nonlinear ）等方法。

目前应用情况简介 2.2 概率积分法（重点）目前已成为我国乃至世界范围较为成熟、应用最广泛的预计方法之一。

2.2.1 水平成层介质中的单元盆地开采沉陷的随机性→随机介质理论为基础 ①非连续介质单元模型，②单元相互分离并发生相对运动。

如图2.1在三维问题中，地下（x 0, y 0, z 0）处开采使地表点A(x, y, z )附近某一小块面积ds 发生下沉这一事件的概率为：ds z y x ds P ),,()(δ=（2-10）δ（x, y, z ）为密度函数。

在x-z 剖面的z 水平上x 处的一段岩石条dx 内有下沉发生，同时在y-z 剖面的同一高度上y 处的一段岩石条dy 内有下沉发生。

因此，ds 发生下沉这一事件的概率为发生上述两事件的概率之积，即：ds y f x f dy y dxf x f ds P )()()()()(2222==（2-11）f 为密度函数，x 2、y 2→对称性。

过原点引另一组正交水平轴x '、y ', 使A 点在这一系统中的坐标为(x ', y ', z ' )。

在新坐标系中，A 点附近的微面ds 发生下沉的概率为：s d y f x f s d P '''=')()()(22（2-12）岩石水平成层 f 的形态皆一致。

微面面积不变 ds =ds ' ；开采点与被考虑的微面相对位置不变 P(ds )=P(ds ' )。

从本质上讲，某一既定的微面在同一开采影响下的下沉概率与坐标轴方向的选择无关。

s d y f x f ds y f x f s d P ds P '''=='=)()()()()()(2222（2-13）从而可得：)()()()(2222y f x f y f x f ''=（2-14）当采用下列方式选择坐标轴，使ox ' 经过A 点，且：⎪⎭⎪⎬⎫='+='02222y y x x （2-15）代入（2-14）得：)()0()()()(222222y x Cf f y x f y f x f +=+=（2-16）将（2-16）两端对x 2、y 2取偏微分可得：)()()()()()()()()(22222222222222y x y x f C x y x y x y x f C x d x df y f +∂+∂=∂+∂⋅+∂+∂= （2-17）)()()()()()()()()(22222222222222y x y x f C y y x y x y x f C y d y df x f +∂+∂=∂+∂⋅+∂+∂=（2-18）由此可得：)()()()()()(222222y d y df x f x d x df y f = （2-19）移项得到：)()()(1)()()(1222222y d y df y f x d x df x f ⋅=⋅ （2-20）上式左边为x 的函数，右边为y 的函数。

此方程成立的条件是左右两端都不依赖于自变量x 、y ，故可令式（2-20）为常量k ，从而有：)(()(2)22x kf xd x df = （2-21）将x 2看作自变量，解此常微分方程得到：2)(2kx Pe x f =（2-22）式中， P 为积分常数。

显然，远离中心两端的岩石下沉的概率小。

因此，从物理意义说k为负值，令k=-h 2代入上式得：)ex p()(222x h P x f -⋅=（2-23）同理)ex p()(222y h P y f -⋅=（2-24）将上述结果代入式（2-13）有：[]ds y x h P z y x ds P 2222(ex p ),,()(+-⋅==δ（2-25）P (ds ) z 0煤层的开采以随机的方式传至z 水平上的随机分布。

由于),,()(),,(000z y x w ds P z y x w =，由此可得到顶板下沉盆地中的分块下沉体在z 水平上造成的微小下沉盆地的表达式：()[]()00002222),,ex p ),,(ds z y x w y x h P z y x w +-⋅=（2-26）令开采面积∆s=1个微小单位，采高w (x 0, y 0, z 0)=1个微小单位的开采为单元开采。

单元开采在上覆岩层中造成的下沉盆地为单元下沉盆地w e ,于是得单元盆地下沉：()[]2222exp ),,(y x h P z y x w e +-=（2-27）当然，孤立的下沉盆地并不存在，它们存在于统计意义之中。

①采出体积足够大地表出现下沉； ②大面积开采=∑单元开采；③原始的位置→弹性变形→逐渐垮落→传递到地表（“三带”形成过程）→下沉盆地。

单元盆地是时间函数w e =(x, y, z, t )，对应的地表下沉盆地体积为：⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy t z y x w V e e ),,,(（2-28）V e 也是时间的函数。

根据A.Salstowicz 假设，下沉盆地体积的增长率与采空区域未压密的体积成正比，即：()e eV c dtdV -⋅=1 （2-29）式中 c —比例系数，当t =0时，V e =0；当t →∝时，V e =1 。

解上述方程式可得：ct e e V --=1（2-30）盆地体积e V 可由上述求得：()[]⎰⎰=+-=∞+∞-∞+∞-222222exp hP dxdy yx h P V e π（2-31）则：()cte h P --=122π（与时间有关的概率） （2-32）从而：()()[]2222ex p 1),,,(y xh e h t z y x w cte +--=-π（2-33）t →∝,()[]2222exp ),,(y x h h z y x w e +-=π（2-34）当宽与高均为一个微小单位，长度为无穷大时的开采称为二维单元开采。

当开采长轴方向平行于y 轴，此时形成槽形盆地，槽长平行于y 轴，而在平行于x 轴的任何剖面上，此盆地的形状均相同，称为二维单元盆地，表示为：()()[]{}⎰+∞∞---+--=δδπd y x h h et z x w cte 2222exp 1),,(()22ex p ),(x h hz x w e -=π（2-35）2.2.2 单元盆地水平移动假定在单元开采影响下岩石发生的变形很小，从弯曲带直到地表的整个岩层中移动变形是连续的，岩石发生形变但体积不变，即：0=+z x εε（2-36）又xu eex ∂∂=εzw e ez ∂∂-=ε（w e 轴与z 轴的指向相反）zw x u ee ∂∂=∂∂ 从而有：⎰+∂∂=k dx zw u ee式中 k 为积分常数，取决于边界条件。

由上式将w e 先对z 微分再对x 积分即可求得u e 。

⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂=∂∂---222222'2'122x h x h x h e e h x h e h e h z x u πππ 式中zhh ∂∂='，再对x 积分得：()())(exp '2exp '1222222z k dx x h h x h x h h u e +⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎰ππ())(exp '22z k x h x h +-=π由于对称的原因，在开采中心线上的点不发生水平移动，即：0)0(==x e u ， 故 0)(=z k 由此得：()22ex p 'x h h xu e -=π（2-37）2.2.3 半无限开采时地表移动盆地走向主断面的移动变形预计所谓半无限开采，如图2.2所示，是指沿工作面推进方向在x =[+∝ ,0]区间已被开采，而沿垂直工作面推进方向的开采尺寸足够大，使之达到充分采动。

1. 移动变形计算表达式（1）下沉预计表达式在图2.2中，采深为H ，开采厚度为 m ，取坐标原点通过开采边界。

由于垮落的顶板岩石碎胀的原因，顶板最大下沉量一般小于开采厚度，为：m dm s w mηη=⎰=0max )(（2-38）式中 m —采高，mm ； η—下沉系数，取决于顶板管理方法。

当开采ds 一段矿层时，地表产生的下沉盆地为：()()[]dss x h hmdss x w dm dw e m220exp --=-⋅⎰=πηη （2-39）显然，当矿层自s =0 开采至 s =∝,地表稳定后的下沉盆地表达式可写为：ds e mh x w s x h 22)(0)(--∞⎰=πη （3-40）令h(x-s)=λ, ds=-d λ/h ，相应的积分限变为hx 及-∝，代入上式得：λπηλd e m x w hx ⎰=∞--2)(（2-41）当 x =-∝时，地表点应有最大值w max ,故λπηλd e m w ⎰=∞∞--2max（2-42）故上式 ηm w =m ax（2-43）将上式代入式（2-41）得：ds e w x w hx ⎰∞--=2max)(λπ（2-44）在上式中，当w max 给定时，取不同的h （rh π=见式2-48）值，作出w (x )对应曲线见图1.23表明，对于不同的h 值所得到的理论下沉盆地具有不同的横向“发育”，下沉曲线也具有不同的最大斜率，其可通过对式（2-44）的微分得出：22max )(xh e h w dx x dw -=π（2-45）当x=0，盆地具有最大的斜率：πh w dx dw max max=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （2-46）（2-47）式中 r — 主要影响半径， βtg Hr =。