3．影响函数法(Influence function method)
影响函数法是介于经验方法和理论模型方法之 间的一种预计方法。
其实质是根据理论研究或其他方法确定微小单元开采对 岩层或地表的影响（以影响函数表示），把整个开采对 岩层和地表的影响看作采区内所有微小单元开采影响的 总和（叠加），并据此计算整个开采引起的岩层和地表 的移动和变形。
dw we (x s) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs (2-23)
若开采厚度为m，而不是单元厚度，但是由于顶板岩层 的冒落、碎胀，充填采空区，加上煤层倾角的影响，所 以开采厚度为m的煤层相当于只开采了mqcosα（q为下沉 系数），则有下式：
dw we (x s) mq cos ds (2-24)
三 半无限开采地表移动预计
r
Ox
x
We(x-S) (x-S)
H
W(x)
Os
dS
S
L
x
地表点的位置变化
S
开采单元的位置变化
单元下沉盆地与下沉全盆地的关系图
2．倾斜
ix
dwx
w0
e
x2 r2
dx
r
(2-27)
3．曲率
kx
dix
dx
2w0 r3
xe
x2 r2
4．水平移动
(2-28)
同理
ux
w0 0 ue
xs
w0 mq cos
i0
i(0)
w0 r
k0 k(
r
2
)
1.52
W0 r2
u0 u(0) bw0
5．最大水平变形
0 (
r ) 1.52 bw0
2
r
（三）预计公式的简化
w(x) 1[erf ( x) 1] A( x)
w0 2
r
r
(2-37)
i(x)
u(x)
e
x2 r2
B( x)
7 铁路下采煤
第二章 地表移动和变形预计
1 概述 2 概率积分法 3 典型曲线法 4 剖面函数法
第一节 概 述
一、基本概念
（一）地表移动和变形预计的基本 概念
1．地表移动和变形预计 对一个计划进行开采的一个或
多个工作面，根据其地质采矿条件 和选用的预计函数、参数，预先计 算出受此开采影响的地表移动和变 形的工作，称为地表移动和变形预
z 8b x2
令 A lim a2 a0 8b
则可得微分方程：
b0
P x, z
1
x2
e 4 Az
4 Az
(2-2) (2-4)
P x, z
x2
1 e rz2
rz
(2-6)
（二）单元下沉的确定
如图2-3（a)所示，设在（x，z）周围有一个以（x， z）为中心，边长为1×1的开采单元ABCD，将此开采 单元划分很多均匀的格子，并装满小球，共有N个（N
对于地表来说，z为常数，等于开采深度H， 则rz也为常数，令r=rz（r为主要影响半径），则
we
(x)
1 r
e
x2 r2
(2-8)
式(2-8)就是地表单元下沉盆地的表达式，
该正态分布概率密度函数即为单元开采的单元
下沉盆地的影响函数。
（三）单元水平移动的确定 假设在单元开采形响下，岩体产生的移动和变形 很小，并且是连续分布的，岩石虽发生变形，但总 体积保持不变。根据弹性力学理论，设体积总应变 为e，沿三轴应变分别为εx 、εy和εz，则有
受半无限开采的影响，除下沉以外，主要的地表移
动变形均发生在x=-r～+r的范围之内，所以称r为主要
影响半径（Major influence radius)。
将x=±r的地表点与煤壁相连，其连线与水平线 之间所夹的锐角β称为主要影响角，其正切tgβ称为 主要影响角正切（Tangent of major influence angle)， 即
可以是相当大的数）。由于此开采单元与整个岩体相
比是很小的，所以可以认为这N个小球排空的概率均
相同，都为P（x，z）。
设单元开采时的下沉值为we（x，z），则
we (x, z)
1 rz
e
x2 rz2
P(x, z)
(2-7)
式（2-7）说明，P（x，z）可以表示单元开采引起（x， z）点的下沉影响函数，这也可以用砂箱模型进行验证。
四、有限开采时地表移动盆地走向主断面的移动和变 形预计
三、预计方法的分类
1．经验方法(Empirical method)
经验方法是在特定的地质采矿条件下，通过大量的 开采沉陷实测资料的数据处理，确定各种移动和变 形的预计函数形式（解析公式、曲线或表格）和预 计参数的经验公式。
经验方法主要有: 典型曲线法(Typical curve method) 剖面函数法(Profile function method) 布尔分布法(Weber distribution method)
e x y z 0
对于平面问题，则有
x z 0 (2-10)
设岩体内（x，z）点受单元开采影响产生的水平
移动为ue（x，z），根据弹性力学的公式并考虑到本 理论模型的假设，则有:
εz式中的“－z”x号是u由wee于xxzx,w,z轴z与z轴方(2向-1相1反) ，将
式（2-11）代入式（2-10），则有:
3．拐点偏距（Offset of inflection point)
4．水平移动系数
水平移动系数（Horizontal movement constant)
是指地表最大水平移动值和最大下沉值的比值。由式
（2-35）知
b u0 w0
5．预计参数的经验值
在没有本矿区基于实测资料的经验参数时，可依据 预计开采覆岩的性质按表2-2确定概率积分法的预计参 数。选取参数时，应详细分析本矿区具体的地质采矿 条件，在地质采矿条件比较相似的情况下，才可以选 用，以减小预计误差。
tg H
r
如果具有倾向充分采动、走向为半无限开采的走向实测下沉曲线w(x) 就可利用下列方法求出r值：在实测下沉曲线上分别确定下沉值为 0.16w0和0.84w0的点，它们和下沉值为0.5w0的点（下沉曲线的拐点） 之间的平距均应为0.4r，从而求出r，若两个平距所得的r值稍有不同， 可取其平均值。
概率积分法由我国学者刘宝琛、廖国华等提出的，目前 已成为我国较成熟的、应用最为广泛的预计方法之一。
二、基本原理
（一）随机介质移动规律开采引起地表移动 是非连续的，介质单元之间的关系发生变化， 单元相互分离并作相对运动。
因此可以用非连续介质模型研究开采沉陷问 题，认为开采引起的地表移动的规律与随机颗 粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。
i0
u0
r
(2-38)
k(x)
(x)
4.13
x
e
x2 r2
C(x)
(2-39)
k0
0
r
r
A( x ) B( x ) C( x ) rr r
称为移动和变形的分布函数，
可以用 x 作为引数直接从表2-1或图2-7中查出。
r
（四）预计参数的物理意义及其求定
1．下沉系数
q w0
m cos
2．主要影响半径及主要影响角正切
ue
x,
z
we x,
z
z
dx
cz
(2-8) (2-13) (2-14) (2-12)
(2-15)
经计算可得：
ue
x,
z
Bz
we x,
x
z
其中， Bz rz drz
2 dz
(2-21)
对于地表来说，z等于开采深度H，B（z）为常数， 令其为B，则有：
ue
(x)
B
we (x) x
B
2x
r3
e
x2 r2
目前，此法所用的参数常根据实测资料求定。 影响函数法主要有: 概率积分法（Probability integral method)
第二节 概率积分法
一、概率积分法的定义
概率积分法就是根据随机介质理论(Stochastic medium theory)，把开采引起的地表移动看作随机事件，用概率积分 (或其导数)来表示微小单元开采引起地表移动和变形的预计 公式,从而用叠加原理计算出整个开采引起的地表移动和变 形。
(2-22)
式（2-22）为地表单元水平移动的表达式。
根据式（2-8）和（2-22），可得出图2-5所示的随机 介质理论模型的地表单元下沉盆地及单元水平移动曲线图 （图2-5）。
三、半无限开采时地表移动盆地走向主断面的移动和 变形预计 （一）移动和变形预计公式 1．下沉
假定在s处开采了一个宽度为ds，厚度为1个单元的煤 层引起地表上任意一点A下沉值为
（二）地表移动和变形预计的意义和作用
1．在理论研究上，利用预计结果定量地研究受开采影 响地表在时间上和空间上的分布规律。
为了提高预计的准确性，必须对预计方法所采用的 理论模型及其参数与地质采矿条件之间的定性、定量关 系进行深入的研究，这些研究又进一步加深了对地表移 动和变形基本规律的认识。
2．在生产实践上，利用预计结果可以指导建筑 物下、铁 路下和水体下（简称为“三下”）的开采实践: 建筑物下开采(Mining under buildings) 铁路下开采(Mining under railways) 水体下开采(Mining under water bodies)
根据概率中的乘法和加法定理，可得：
Px, z b 1 P x a , z 1 P x a , z
2 2 2 2
（2-1）