如： ajixi bj
akixi bj akixi bk
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的
对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标
系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义
的张量。
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2
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质
量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。
有相同的方向，此时J与E的关系变为
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
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或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
.
6
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
.
8
一、坐标变换
如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
位矢为 e1,e2,e3,经过旋转
变换为新的坐标系
OX'IX'2X'3，在新的坐标系
里的单位矢为 e'1,e'2,e'3,令
新坐标系中在旧坐标系中的
方向余弦为aij （j=1,2,3 )
，则
.
9
e'1 a e11 1 a e 12 2 a e13 3 e'2 a e21 1 a e 22 2 a e23 3 e'3 a e31 1 a e 32 2 a e33 3
第二章 张量的基本知识
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1
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这
样的指标为哑指标。
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Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
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16
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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3
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
或简写为
3
e'i ae ij j （ i1,2,3) j1
反之，有
3
ei ajei 'j (i1,2,3)
j1
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表示成矩阵形式为
e'1 e'2
a11 a21
a12 a22
a13e1
a23e2
e'3
a31
a32
a33e3
将以上关系列成方阵形式则为
aij cose'(iej)
X1 X2 X3 (老坐标轴)
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
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17
2.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
ajixi bj j 为自由标
j 1 a 1x 1 1a 1x 2 2a 1x 3 3b 1
.
18
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13
ij(i, j 1,2,3)～21
22
2
3
31 32 33
.
14
求和约定 哑指标和自由标 1. 求和约定和哑指标
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，
（ 新坐标系） X1' a11 a12 a13
X2' a21 a22 a23
X3' a31 a32 a33
称9的a的分量组成的方阵称为坐标出了新老坐标之. 间变换的规律。
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二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,
在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
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7
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
pp1e1p2e2p3e3 p*1e*1p*2e*2p*3e*3
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即为
P 1 *
P 2 *
P 3 * e e 1 2 * * P 1 *
P 2 *
a 11a 12a 1 3e 1
e 1
P 3 * a 21a 22a 2 3 e2 P 1 P 2 P 3 e2
e3 *
a 31a 32a 3 3 e3
e3
于是得
PP*A
P*PA 1
注：此处P与P*均为行向量
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为了表示方便我们下面引入指标符号的概念
指标符号：
x1,x2xn 记作
xi(i1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢 量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
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三、张量
先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
其中σ为电导率，是标量。
但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具