实验报告88数学系07级 姓名：宗艾俐 日期：08.11.15 学号：PB07025015实验原理用自己的语言总结实验题目：陀螺仪实验 实验目的：1、通过测量角加速度确定陀螺仪的转动惯量；2、通过测量陀螺仪的回转频率和进动频率确定陀螺仪的转动惯量；3、观察和研究陀螺仪的进动频率与回转频率与外力矩的关系；4、观察和研究陀螺仪的章动频率与回转频率的关系。
实验原理：1、如图2用重物（砝码）落下的方法来使陀螺仪盘转动，这时陀螺仪盘的角加速度α为：α=d ωR /dt=M/I P (1)式中ωR 为陀螺仪盘的角速度，I P 为陀螺仪盘的转动惯量。
M=F .r 为使陀螺仪盘转动的力矩。
由作用和反作用定律，作用力为：F=m(g-a) (2) 式中g 为重力加速度，a 为轨道加速度（或线加速度） 轨道加速度与角加速度的关系为：a=2h/t F 2； α=a/r (3) 式中h 为砝码下降的高度，r 如图1所示为转轴的半径，t F 为下落的时间。
将(2)(3)代入(1)可得：h mgrmr I t P F22222+= (4) 测量多组t F 和h 的值用作图法或最小二乘法拟合数据求出陀螺仪盘的转动惯量。
2、如图3所示安装好陀螺仪，移动平衡物W 使陀螺仪AB 轴（X 轴）在水平位置平衡，用拉线的方法使陀螺仪盘绕X 轴转动（尽可能提高转速），此时陀螺仪具有常数的角动量L ：L =I P .ωR (5)当在陀螺仪的另一端挂上砝码m （50g ）时就会产生一个附加的力矩M *，这将使原来的角动量发生改变：dL/dt =M *=m *gr * (6)由于附加的力矩M *的方向垂直于原来的角动量的方向，将使角动量L 变化dL ，由图1可见： dL=Ld ϕ图1 陀螺仪进动的矢量图PP R P P I gr m dt dL I dt dL L dt d ωωϕω**11====P PR t I gr m t 2**41π=这时陀螺仪不会倾倒，在附加的力矩M *的作用下将会发生进动。
进动的角速度.ωP 为(ωP =2π/t P ，ωR =2π/t R )：(7)所以可以得到以下关系式：(8)因此1/t R 与t P 是线性关系,由作图法或最小二乘法拟合数据求出陀螺仪盘的转动惯量。
实验仪器：①三轴回转仪； ②计数光电门； ③光电门用直流稳压电源（5伏）； ④陀螺仪平衡物； ⑤数字秒表（1/100秒）； ⑥底座（2个）； ⑦支杆（2个）；⑧砝码50克+10克（4个）； ⑨卷尺或直尺。
实验内容：1根据实验装置图一组装好陀螺仪，用砝码落下的方法来使陀螺仪盘转动，用米尺测出砝码距地面的高度h ，并用秒表记下砝码落下 所用的时间t f ；重复实验五次，并将每次所得数据记录下来。
2根据实验装置图二组装好陀螺仪，移动平衡物w 使陀螺仪的AB 轴（x 轴）平衡，用拉线的方法使陀螺仪盘绕x 轴转动，并且尽可能的提高转速，用光电门测出自转周期T R ；然后在陀螺仪的另一端挂上砝码m （30g ），此时陀螺仪在附加力矩的作用下，将会发生进动，用秒表测出此时的进动周期T P ；重复实验五次，并将每组实验数据记录下来。
数据处理: 1、已知参数：轴半径r=22.5mm ， 半径R=122.5mm ， 厚度d=28mm ， 密度， 进动半径=270mm ， 合肥的重力加速度g=9.795. m=60g m*=30g由以上参数可得陀螺仪的质量m =·（-）d=0.9=1.147356 kg距地高度h/（cm ） 90.0 80.0 70.060.0 50.0 40.0 下落时间T F /（s ） 7.02 6.636.16 5.76 4.99 4.52设陀螺仪盘角加速度为，/R 角速度, I P 为转动惯量,M=F ·r 为陀螺仪盘转动的力矩，则有=……………………………………①根据作用和反作用律可知F=m（g-a）………………………………②其中g为合肥的重力加速度，a为轨道加速度；又落体法时陀螺仪与砝码具有相同的轨道加速度，故a=………③h为砝码下降的高度，为下落的时间；又知轨道加速度和角加速度的关系为=，将此式连同②③代入①式可得=·h ………………………………④可以发现与h呈线性关系，以h为横轴，为纵轴，描出以下各点，h/m 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.4049.28 43.96 37.95 33.18 24.90 20.43/s2随h的变化曲线PP R P P I gr m dtdL I dt dL L dt d ωωϕω**11====P PR t I gr m t 2**41π=Linear Regression for Data1_B: Y = A + B * X Parameter Value Error------------------------------------------------------------ A -3.34429 1.41168 B 58.91429 2.10052------------------------------------------------------------ R SD N P------------------------------------------------------------ 0.99747 0.87871 6 <0.0001------------------------------------------------------------ 由此可知直线斜率k=58.91由 k =可得 I P =（mgkr 2-2mr 2）代入数据即I P =（0.06*9.795*58.91*0.02252-2*0.06*0.02252）=8.73*kg/m 23、进动法测转动惯量: 自转周期T R /s 0.311 0.289 0.398 0.355 0.325 0.31 进动周期T P /s 16.3 18.11 14.33 14.79 15.64 16.44 P R 在其另一端挂上砝码m （30g ）后,产生的附加力矩会使角动量发生改变 dL/dt =M *=m *gr * 由图1可见： dL=Ld ϕ ……………………⑥这时陀螺仪发生进动,进动的角速度.ωP 为(ωP =2π/t P ，ωR =2π/t R )：所以可以得到以下关系式： 可见1/t R 与t P 是线性关系。
根据实验中测得的自转周期，可得如下数据：图1 陀螺仪进动的矢量图1//s -13.2153.460 2.513 2.817 3.078 3.226进动周期T P /s 16.318.11 14.33 14.79 15.64 16.44以1/为y 轴，T p 为x 轴，描出各点并拟合直线如下图Linear Regression for Data1_D: Y = A + B * XParameter Value Error------------------------------------------------------------ A -0.73602 0.62728 B 0.23769 0.03925------------------------------------------------------------ R SD N P------------------------------------------------------------ 0.94956 0.11835 6 0.00375------------------------------------------------------------ 由此可知斜率为k=0.238由 P I gr m k 2**4π= 可得I P =代入数据得I P =（0.03*9.795*0.27）/（4*0.238*3.142）=8.45*kg/m 24、观察章动现象在陀螺仪进动过程中在某时刻给予陀螺仪一个沿转动方向的力就会产生章动现象，在试验过程中当给予陀螺仪力F后，陀螺仪会在一段时间内产生有规律的运动现象，刚受到推力时陀螺仪会转动加速，但加速一小段时间后会减速到停止运动（在我的试验过程中，我观察到的现象是如此），然后再加速，进行新一轮的循环，在几个循环之后这种现象不能再观测到）。
误差分析：可以发现落体法对进动法测出的转动惯量的相对误差为（（8.73-8.45）/8.45）*100％=3.3％，两种方法所测的值不同可能有以下原因: 1.本实验中由于人对重物开始运动和落地时间的判断误差较大而重物在试验过程中运动时间较短，故误差较大。
2.落体法时有空气阻力，此时砝码不是自由落体，侧地的时间稍长，致使所得的转动惯量偏小。
3.进动法时用光电门测自转周期时，因周期太小，测量者反应时间引起实验误差。
4.试验仪器的摩擦较大思考题：1、陀螺旋进常伴随有章动，为什么试验过程中我们并没有考虑？答：陀螺旋进常伴随有章动，但振幅极微小且频率极高的章动，由于轴承摩擦和空气阻尼作用而很快衰减，因此在分析具体问题时常忽略陀螺章动，只考虑陀螺旋进。
2、能否直接计算陀螺仪的转动惯量？答：能。
实验给出了陀螺仪的各项参数，我们可以据此算出陀螺仪盘的质量，根据公式I=mr2可直接算出其转动惯量。