水产的养殖与捕捞[摘要]:由于社会的快速发展，人们的生活水平不断提高，大家对于食物的要求也不断提高，光从自然界中捕捞的水产品的量已经不足以满足人们的需求了，从而衍生出了人工养殖水产这一职业。

本文解决的是一个从实际生活中引发出的问题，该问题在考虑部分影响因素的情况下，确定一些必要量，对三种不同情况，分别运用微分法和规划论，建立相应的微分规划，积分规划和变分法数学模型，再利用微分法，变分法及Maple 数学软件进行求解，对不同的投资情况进行求解。

[关键字]:虾量 捕捞策略 养殖策略 利润最大1 问题重述人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比。

而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。

但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。

现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定比例量捕捞。

用)(t x 表示养殖场中第t 月的虾量（单位：斤），用)(t y 表示第t 月的月养殖费（单位：元/月）.根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：1）这种虾的自然死亡率为05.0,=λλ（1/月）；2）环境容许的最大虾量为=N N ，104（斤）；3）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量)(t x 的增加速度与月养殖费)(t y 成正比，其比例系数是)(t x 的函数；当)(t x 达到N 时，此函数为0；当)(t x 为0时，此函数为常数1＝，αα（斤/元）； 4）虾的捕捞采用拉网式固定比例量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量)(t x 成正比，比例系数为E .这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为斤）元(1.0,=ββ；5）小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元.（1）若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费)(ty与该月虾量)(taa（元/斤﹒月）。

试制定捕,=x成正比，比例系数为2.0捞策略（确定E），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？（2）若某人承包此养殖场5年，且月养殖费)(ty与该月虾量)x成正比，(t比例系数为a,又取E＝0.08（1/月）。

试制定养殖策略（确定a）,使5年的总利润最大。

如果初始虾量为103斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？（3）若某人承包此养殖场5年，每月按强度1.0E（1/月）捕捞，试制定=养殖场策略（确定养殖费)y）,使5年的总利润最大.(t2问题假设（1）虾群作为一个相对独立的整体，且不与其他生物发生竞争；或者虽然有竞争，但是其影响就限于虾的自然死亡率范围内[1]（2）在同一个问题中，虾群的捕捞模式一定，采用拉网式固定比例量捕捞，每月的捕捞量与此时养殖场虾量)x成正比，比例系数为常量E(t（3）每月捕捞过后全部销售完，销售价格不变，且不计销售成本（4）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量)x的增加速度与月养殖费(ty成正比，其比例系数是)(t)(tx达到N时，此函数为0；x的函数；当)(tα（斤/元）当)(tx为0时，此函数为常数1，α＝（5）虾一旦捕捞上岸，不考虑死亡情况（6）养殖费)y只与虾量)(tx有关，不随市场的不稳定而波动(t3符号约定N是环境允许的最大虾量α是固定的增长率E是与每月虾量相关的捕捞系数y t是每月的养殖费用()λ是该养殖场虾的自然死亡率p是虾销售的数学期望，即平均价格)(tx是养殖场中第t月的虾量t是单位时间a是养殖费用与虾量的比例系数4 基本模型的分析与建立这道题是动态变化中有约束条件的最优问题，分别对三个小问进行分析。

第一小题要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费)(ty与该月虾量)(tx成正比，比例系数为2.0,=aa（元/斤﹒月），在此约束条件下可以列出每月虾量的微分方程，再根据相应的收入与支出关系确定捕捞策略，确定月最大利润。

第二小题由于采用了固定的捕捞策略，常量E一定，可以列出相应的积分方程，再根据相应的收入与支出关系确定利润最大。

第三小题同样是采用了固定的捕捞策略，要制定养殖策略，使五年的总利润最大。

我们运用变分法，把目标函数和约束条件结合起来，转换成泛函极值的问题，进而归结为求微分方程组的问题，用Maple数学软件可以计算出结果。

基于以上分析可以建立以下基本数学模型：（1）虾的自然死亡率：()()dx tx tdtλ=⋅，0.05λ=（1/月）（2）每月虾的捕捞规律：()() dx tE x t dt=⋅（3）每月虾的增长与养殖费的关系函数：()(())(1)x tP x tNα=-，1α=（斤/元）（4）每月的虾量随时间变化的关系函数：()()(1)()()() dx t x ty t E x t dt Nαλ=--+（5）每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3，小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元，可以求得虾的平均价格为7.5，下面出现的虾的价格均可以根据平均价格求,记为p。

5 模型的建立与求解第一小题：根据每月的虾量都相等，且月养殖费)(t y 与该月虾量)(t x 成正比。

每月利润=价格*捕捞量-成本-月养殖费用比例系数为2.0,=a a （元/斤﹒月）可以列出下列微分方程：()0,()()dx t y t ax t dt==，即 ()(1)()()()0x t y t E x t Nαλ--+= 可以求得1()N E x N aλα+=-，20x =（舍去） 1x 即为每月虾量每月相等虾量的最大利润的捕捞数学模型为：()()max ()()()1()..()2f p E x t ax t N E s t x t N a βλα⎧=-⋅-⎪⎨+=-⎪⎩将（2）代入（1）解得[]()()N E f E p a N a λβα⎡+⎤=---⎢⎥⎦⎣，是一个关于E 的二次函数，代入相应的已知量47.5,0.1,0.2,10,0.05,1p a N βλα======，易求得相应的捕捞常量0.0885E ≈（1/月），同时每月的最大虾量为3075x ≈（斤），最大月利润为1398.8175f ≈（元）第二小题：某人承包此养殖场5年，即为60个月，根据已知条件可得：[]600max ()()(1)()()..(1)()()()(2)f E p a x t dt dx t x t s t x t E x t dt N βλ⎧=--⎪⎨⎪=--+⎩⎰[]333600()606012126001213max ()()(1)()()..(1)()()()(2)()()()1ln ln(a E C C t C f E p a x t dt dx t x t s t x t E x t dt N xN a E x t ax aN N EN ax e t C C e dt C C C C e C C e αλβλαλααλα------⎧=--⎪⎨⎪=--+⎩--=+---⎤⎡+=-+⎥⎢+⎣⎦⎰⎰（2）式微分方程的解为[2]：()()()()a E xN a E x t ax aN N EN ax e tαλαλααλα-----=+--- 将上述x 的值代入目标函数，并利用积分公式：)3336060121260012131ln ln(C C t C C C e dt C C C C e C C e ---⎤⎡+=-+⎥⎢+⎣⎦⎰ 对f 的解析式关于a 求导，并令0df da=，再确定f 的最值 代入已知量:47.5,0.1,0.08,10,0.05,1p E N βλα======，应用Maple 数学软件求解得到如下结果：比例系数0.3006239887a ≈（元/月/斤），养殖场的虾量5313.91x ≈（斤），五年的最大利润82398.93829f ≈(元) 当310x =时，将已知量40.2774,10,0.05,1,()5315.19a N x t λα=====代入关式：333()10()()10(10)a N a x t a aN N a e tαλαλααλα---=+--， 解得11.3677t ≈（天）341≈（月）即当初始虾量为310x =时，获利最大开始的捕捞月份为第11.4个月。

第三小题：承包养殖场5年，即60个月，每个月按捕捞强度0.1E =计算，可以建立使5年的总利润最大的捕捞策略的相关数学模型：[]6004max (())0.74()()(1)()()..(1)()0.15()(2)10f y t x t y t dt dx t x t s t y t x t dt ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩⎰ 这个数学模型是一个关于泛函极值的问题，可以考虑用变分法求解。

对于条件极值的泛函极值问题：)(21(()),(),()t t Q y t F t x t y t dt =⎰ 我们可以利用拉格朗日乘数法把条件极值问题转换为无条件极值问题。

引入乘子函数()u t 构造泛函：21()((),())[(,,)()((,,))]t t dx t k y t x t F t x y dt u t f t x y dt dt=+-⎰ 作哈密尔顿函数[3](,,)(,,)()(,,)H t x y F t x y u t f t x y =+,将与问题相关的数据代入上式，可以得到：4()(,,)0.74()()()[(1)()0.15()]10x t H t x y x t y t u t y t x t =-+-- 则由欧拉方程[3]得：4()0()()(1)()0.15()10du t H dt x H y dx t x t y t x t dt⎧∂=-⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪=--⎪⎩ 运用Maple 数学软件可以得到：()5497.75,()1831.67x t y t ≈≈所以当某人承包该养殖场5年，每月按照强度0.1E =（1/月）的策略捕捞时，每月需要投入1831.67元的养殖费用时，5年的总利润将达到最大6 模型优缺点优点：（1） 该方案简单易懂，操作方便，证明清晰，结论有力。

（2） 该问题用微分法，变分法解决，可用Maple 数学软件进行求解。

缺点：（1） 该模型的建立为了方便求解，忽略了一些细节问题对虾类成长，销售的影响。

（2） 模型过于简单。

7 参考文献[1]刘来福，曾文艺编著.数学模型与数学建模[M].北京：北京师范大学出版社，1997[2]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006[3]姜启源编数学模型（第二版）[M]北京：高等教育出版社，1993附录虾类的价格表种类小虾 中虾 大虾 价格（元）5 7 10 出现概率0.2 0.5 0.3数学期望（元） 7.5（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。