第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系一、教学目标1.核心素养培养数学抽象，形成逻辑推理能力．2.学习目标（1）了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．（2）命题的四种形式．3.学习重点了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．4.学习难点明白四种命题之间的关系，会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务：阅读教材P1－P4，思考：如何判断命题的真假？四种命题之间有什么关系？2．预习自测1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）对数函数是增函数吗？（3）2x<15；解：（1）真命题（2）疑问句，不是命题（3）不能判断真假，不是命题2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.解：（1）若两条直线相交，则有且只有一个交点；（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等；（3）若两个三角形全等，则它们的面积相等.3．命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（）A.若a-1≤b-1,则a≤bB.若a<b,则a-1<b-1C.若a-1>b-1,则a>bD.若a≤b,则a-1≤b-1答案：A解析：命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.（二）课堂设计1．知识回顾在生活中，我们接触了哪些具体的命题？请大家阅读教材P2中所列举的6个命题例子，并试着列举生活与学习中的命题例子．2．问题探究问题探究一命题的含义1.什么是命题？思考：三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久发现了一只黑羊．“真有意思，苏格兰的羊都是黑的”天文学家谈论道．“这种推断不可靠”数学家应道．我们只能得出”在苏格兰有一些羊是黑色的”这样的结论．逻辑学家马上接着说我们真正有把握的不过是”在苏格兰至少有一个地方有至少一只黑羊”如何判断这些话的真假呢?阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）3>12；（3）3>12吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做命题？一般地，在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题（proposition），其中判断为真的语句叫做__________（true proposition），判断为假的语句叫做__________（false proposition）．说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.（2）一个命题要么为真,要么为假．但不能同时既真又假,也不能模棱两可,无法判断其真假．（3）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、q 、r 等． 问题探究二 命题的四种形式1.将一个命题改写成“若p ，则q ”的形式：在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 ．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p 则q ”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p 则q ”的形式．这样条件和结论就很清楚了． 2.四种命题的概念：原命题 逆命题 否命题 逆否命题若p 则q交换原命题的条件和结论，所得的命题是_______；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_______；为了书写简便，常常把条件p 和结论q 的否定，分别记作“_______”和“_______”；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是_______．这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便． 问题探究三 四种命题的相互关系与真假四种命题的相互关系图：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假四种命题的真假关系：__________和__________互为逆否命题；__________和__________互为逆否命题 互为逆否的两个命题真假__________：互逆或互否的两个命题真假__________．3．课堂总结【知识梳理】命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．【重难点突破】掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．4．随堂检测1.命题“若a>b,则2a>2b-1”的逆否命题是________【知识点：四种命题】答案：若2a≤2b-1,则a≤b互换条件与结论,并进行否定,得其逆否命题“若2a≤2b-1,则a≤b”.2.给定下列命题：①“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若A=B,则sin A=sin B”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是________.【知识点：四种命题】答案：①②④解析：对于①,因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以原命题为真.所以①是真命题.显然②是真命题.③的逆命题：“若sin A=sin B,则A=B”.是假命题.④的否命题：“若xy≠0,则x,y都不为零”.是真命题.3.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B全是锐角”的否命题为（）A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【知识点：四种命题】答案：B解析：否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.【误区警示】解答本题易出现选A 的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.4.写出命题“若a,b 都是奇数,则a +b 是偶数”的逆命题,否命题及逆否命题,并判断它们的真假. 【知识点：命题真假的判断】解：逆命题：若a +b 是偶数,则a,b 都是奇数,是假命题; 否命题：若a,b 不都是奇数,则a +b 不是偶数,是假命题; 逆否命题：若a +b 不是偶数,则a,b 不都是奇数,是真命题. （三）课后作业 ★基础型自主突破1．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2+b 2+c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2³3 D ．若a 2+b 2+c 2³3，则a ＋b ＋c ＝3【知识点：四种命题】 答案：A.解析：由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2<3”．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是（ ） A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4 【知识点：四种命题】 答案：C解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________． 【知识点：命题真假的判断】 答案：2个解析：由a >－3⇒a >－6，但由a >－6 a >－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题． 4．对于命题“若数列{a n }是等比数列，则a n ≠0”，下列说法正确的是________．(填序号) ①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题； ③它的逆否命题是假命题；④它的否命题是假命题． 【知识点：命题真假的判断】 答案：④5．命题“若m ＞1，则mx 2－2x ＋1＝0无实根”的等价命题是________________． 【知识点：四种命题】答案：若mx 2-2x +1=0有实根，则m ≤16．在命题“若数列{n a }是等比数列，则n a ≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【知识点：命题真假的判断】 答案：2个解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题． 7．写出命题“已知集合A ，B ，若A ∪B ≠B ，则A 不是B 的子集．”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 【知识点：命题真假的判断】答案：逆命题：已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则A ∪B ≠B ，真命题； 否命题：已知集合A ，B ，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，真命题． 逆否命题：已知集合A ，B ，若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，真命题． 8．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)等腰梯形的两条对角线相等； (2)平行四边形的两条对角线互相垂直．答案：(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题． (2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题． 【知识点：命题真假的判断】 ★★能力型师生共研9．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是x，则x是p的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上判断都不正确【知识点：四种命题之间的关系】答案：C 根据四种命题的关系，结合具体的例子可知，命题p与命题x是互为逆否命题10．若a，b∈R，且220a b+≠，则下列命题：①a，b全为0；②a，b不全为0；③a，b全不为0；④a，b至少有一个不为0.其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【知识点：四种命题的真假】答案：C解析：②④为真命题．11．命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．4【知识点：四种命题的真假】解：D.原命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a＞0，则a＞1”是真命题；否命题”对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．12．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③若“ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【知识点：四种命题的真假】答案：C 命题①的逆命题是“若x＝0且y＝0，则xy＝0”，为真命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m＞2时，方程x2-2x+m=0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.13．命题“若函数f(x)=loga x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是__________________．【知识点：四种命题】答案：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．14．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．【知识点：四种命题之间的关系】答案：[1,2]解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴1112mm≤⎧⎨≥⎩－＋∴1≤m≤2.15．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【知识点：四种命题的真假】答案：①③⑤解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2+4x+5=(x+2)2+1>0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．16．给出以下命题：①“正多边形都相似”的逆命题；②“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．【知识点：四种命题的真假】 答案：②解析：①逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题． ②∵Δ＝1＋4m ，若m ＞0，则Δ＞0， ∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真命题． ∴逆否命题也为真命题． ★★★探究型多维突破 17．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A >∠B ，则sin A >sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．①②③④【知识点：命题的真假】 答案：B解析：①②③正确．18．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p ：________，结论q ：_________.它是________命题(填“真”或“假”) 【知识点：命题 命题真假判断】答案：二元一次不等式x ＋ay －1≥0；表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)；真 19．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【知识点：命题的真假；数学思想：转化与化归】 答案：[3,0]-解析：2230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时，24120a a a <⎧⎨∆=+≤⎩得30a -≤<；30a ∴-≤≤ 20．若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q ＜14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由． 【知识点：命题的真假；数学思想：转化与化归】 解：(1)上述命题是真命题．由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q ＜0，得q ＜－p 2，∴p ＋q ＜p －p 2＝－(p －12)2＋14≤14，∴p ＋q ＜14.(2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q ＜14，则方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q ＜14，但原方程有实数根x ＝－1. （四）自助餐1．下列语句中命题的个数为________． ①空集是任何非空集合的真子集． ②三角函数是周期函数吗？ ③若x ÎR .，则x 2＋4x ＋7>0. ④指数函数的图象真漂亮！【知识点：命题的判断；数学思想：逻辑推理】 答案：2个解析：①是命题；②是疑问句，故不是命题；③是命题；④是感叹句，所以不是命题． 2．在空间中，下列命题正确的是________．(填序号) ①平行直线的平行投影重合； ②平行于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两条直线平行．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】 解：④3．命题“若a ，b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是 ．解：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数4．有下列四个命题，其中真命题有________．(填序号)①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】答案：①③解析：①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．5．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________；逆命题是____________；否命题是_______________．【知识点：四种命题；数学思想：逻辑推理】答案：不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数；能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数；各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除6．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题有________．(填序号)【知识点：四种命题及其关系；数学思想：转化与化归】答案：①③7．给出下列命题：（1）命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题（3）命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题（4）“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为．【知识点：命题及其关系；数学思想：转化与化归】答案：（1）（2）（3）解析：命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题为“若b2﹣4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根”为真命题；命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为“若△ABC为等边三角形，那么AB=BC=CA”为真命题；命题“若a＞b＞0，则＞＞0”为真命题，故其逆否命题也为真；由于“mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”⇔m＜﹣，故“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”的逆命题为“若mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R，则m ＞1”为假命题8．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m>14时，方程mx2-x+1=0无实根；(2)平行于同一平面的两条直线平行．【知识点：命题的形式，命题真假判断；数学思想：转化与化归】解：(1)命题可改写为：若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当m>14时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．（1）若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；（2）若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2﹣4ac＜0，则该函数图象与x轴有公共点．【知识点：四种命题；数学思想：逻辑推理】解：（1）逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．（2）逆命题：若二次函数y=axx2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2﹣4ac＜0；否命题：若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2﹣4ac≥0，则该函数图象与x轴无公共点；逆否命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点，则b2﹣4ac≥0．10．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2+ax+b£0有非空解集，则a2-4b³0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．【知识点：命题真假的判断；数学思想：逻辑推理】解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集． 否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0. 逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集． 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )=-(7-3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】解：若命题p 为真命题，则m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2。