A．2π＋2 3
B．4π＋2 3
C．2π＋2 3 3
D．4π＋2 3 3
【解析】 由几何体的三视图可知，该几何体
是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底面边
长为 2，侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成．故该几 何体的体积为 V＝π·12·2＋13·( 2)2· 3＝2π ＋23 3，故选 C. 【答案】 C
其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)
【解析】 ①正确，如下图(1)，在三棱锥A－BCD中，若AB⊥BC， AB⊥BD，BC⊥CD，则有AC⊥CD，所以四个面全是直角三角形；
②不正确，反例：如下图(2)，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则 △ABC为等边三角形，△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三 角形，但不能判定三棱锥V－ABC为正三棱锥；
【解析】 将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相 对，③与⑤相对．
【答案】 ①与④，②与⑥，③与⑤
下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直 于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若有两个过相对侧棱 的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个 侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四 条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
2．(2009年辽宁高考)如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°
纬线长和赤道线长的比值为( )
A．0.8
B．0.75
C．0.5
D．0.25
【解析】 作出截面图，由图可知 2πr∶2πR＝sin 30°＝12.
故选 C.
【答案】 C
3．(2009年山东高考)一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何 体的体积为( )
＝2AE＝ 6，
1
1
∴S△A′B′C′＝2B′C′·A′E′＝2×2× 6＝
6.
1．(2009 年福建高考)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边 1
长为 1 的正方形，且体积为2，则该几何体的俯视图可以是( )
【解析】 ∵体积为12，而高为 1，所以底面为一个直角三
角形．故选 C.
【答案】 C
在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯 视图．
【思路点拨】 根据正视图和侧视图可确定出点G、F的位置，从 而可以画出俯视图．
【自主探究】 如图
【方法点评】 1.几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视 图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正 视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”， 注意虚、实线的区别．
(3)棱台
棱台可以由棱锥截得，其方法是 用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台 ．
2．旋转体的结构特征 旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平 面图形及旋转轴．
3．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用 正投影 得到，在这种投影下，与投影面 平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 完全相同的，三视图包括 正视图 、 侧视图 、 俯视图 ．
7．利用斜二测画法，我们可以画出空间几何体的直观图，求直观 图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就 是在原来的实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且 长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．将水平 放置的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也 就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段的长度变为原 来的2倍．
4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴 的夹角为 45°(或135°) ，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 垂直 ．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 仍平行 ．平行于x 轴和z轴的线段长度在直观图中不变 ，平行于y轴的线段长度在直观 图中 减半 ．
∠xOz＝90°. ②画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取
O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′， Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′.
③画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中 相应的高度．
④成图．连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、 C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②所示．
1．多面体的结构特征 (1)棱柱(以三棱柱为例) 如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是 平行 ，△ABC与△A1B1C1 的关系是 全等 ．
各侧棱之间的关系是 A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C .
(2)棱锥(以四棱锥为例) 如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点 的三角形．
柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可掌
握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质．
3．圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形．圆形
的有关计算一般归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2＝h2＋R2.
4．圆台的母线l、高h和上、下两底面圆的半径r、R组成一个直角梯
A．3a2 C．3a2＋ 2 a2
B．2a2 D．2a2＋ 2a2
1 【解析】 由题意：PA⊥面ABCD，S△PAB＝S△PAD＝ 2 a2， S△PBC＝S△PCD＝ 22a2，S底＝a2，S表＝a2＋a2＋ 2 a2＝2a2＋ 故选D.
2 a2，
【答案】 D
(1)如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它 的直观图．
S△BCD＝2×6×6＝18，S△ABD＝2×6 2×4＝12 2.
取 BC 中点 E，连结 AE、OE.
可得 BC⊥AE，AE＝ AO2＋OE2＝5，
1 ∴S△ABC＝S△ACD＝2×6×5＝15，
∴S 全＝18＋12 2＋15＋15＝48＋12 2.
【答案】 A
5.(2009年全国Ⅱ高考)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记 为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、 外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
【答案】 C
2．正六棱柱的三视图画法正确的是………………………( )
【解析】 正视图中看到四条侧棱时，侧 视图可以看到三条侧棱．
【答案】 A
3. 如图所示，
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的 正方形，则原来图形的形状是( )
【解析】 由直观图知，原图形在y轴上的对角线长应为2. 【答案】 A
A．南 B．北 C．西 D．下
【解析】 如图所示．
【答案】 B
1．要明确柱体、锥体，台体和球的定义，定义是处理问题的关键；
认识和把握几何体的几何结构特征，是我们认识空间几何体的基础；
对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握，有利于从
中找到解题突破点．
2．旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆
3. 用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC=1， ∠ABC=30°，如图所示，试求原图的面积．
【解析】 如图所示，作AD⊥BC于D，在BD上取一点E，
使 DE＝AD，由 AC＝1，
3
6
可知 BC＝2，AB＝ 3，AD＝ 2 ，AE＝ 2 ，
由斜二测画法可知 B′C′＝BC＝2，A′E′
(2)如图③、④所示的实际图形和直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝ 43a，在图④中
作 C′D′⊥A′B′于 D′，则 C′D′＝ 22O′C′＝ 86a.
1
1
∴S△A′B′C′＝2A′B′·C′D′＝2×a×
86a＝ 166a2.
【答案】 166a2
【方法点评】 画几何体的直观图一般采用斜二测画法，步骤 清晰易掌握，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二 测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变) 来掌握，在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中 角度和长度的变化．
③不正确，侧面的面积相等只不过是斜高相等，并不能表示侧 面为全等的三角形，故不能判定；
④正确，由线面垂直和面面垂直的判定定理可知，三棱锥的任 一侧棱垂直于另外两条侧棱决定的侧面，再由面面垂直的判定定理 知，三个侧面两两垂直．故应填①④.
【答案】 ①④
(2008年海南、宁夏高考改编)如下的三个图中，上面的 是一个长方体截去一个角后得到多面体的直观图，它的正视 图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的 编号) 【思路点拨】 棱柱的概念．
【自主探究】 ①错误，必须是两个相邻的侧面；②正确，两 个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③错误， 反例可以是一个斜四棱柱；④正确，对角线相等的平行四边形为矩 形．故应填②④.
【答案】 ②④
5．平行投影与中心投影 平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点 ．
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个
几何体一定是………………………………………( )
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱，圆锥，球体的组合体
【解析】 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形 和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
【特别提醒】 严格按排列规则放置三视图，并用虚线标出长、 宽、高的关系，对准确把握几何体很有利．
2．应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图中所涉 及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、线、面之间的关系 及图中的一些线段的长度，这样我们就可以解出有关的问题．
2．(2009年山东济宁)四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影 恰好是A，其三视图如图所示：则四棱锥P－ABCD的表面积为( )