精品课件
微积分在几何上有两个基本问题 1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y
y
y
0
直线
x0
xo
x
几条线段连成的折线
曲线？
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1.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
（ 3）bf(x)dx c f(x)dx bf(x)dx
a
a
c
(其中 acb)
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例2 已知1x3dx1, 2x3dx15,
0
41
4
2x2dx7, 4x2dx56,
1
32
3
求（ 1） 2 3 x 3 dx 0
( 2 ) 4 6 x 2 dx 1
( 3 ) 2 ( 3 x 2 2 x 3 ) dx 1
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x)
f(xi)
•得n个小区间： [xi1 , xi ]
f(x2) f(x1)
(i=1, 2 , · · ·, n)．
•区间[xi1 , xi ]的长 度Dxi xi xi1 ． O a 1 x1 2 x2 •把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
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已知 3dx 3, 3 xdx 9 ,
0
0
2
3 x2dx 9, 3 x3dx 81,
0
0
4
求
(1) 3(4x3 3x2 6x8)dx 0
(2) 3(8x3 21x3 12x15)dx 0
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作业
回家好好复习总结！ 同学们再见！
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1 n4
n
i3
i 1
n14
•1n2(n1)2 4
1 (1 1)2 4n
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（2）取极限
1
0
x3dx
lim
n
Sn
lim 1 (1 1 )2 1 n 4 n 4
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定积分的性质:
（ 1） bk(fx)dxkbf(x)d(xk为常 ) 数
a
a
（ 2 ） a b [f1 (x ) f2 (x )d ] x a bf1 (x )d x a bf2 (x )dx
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0 ,1][,1,2],,[i 1,i],,[n 1,n], n nn nn n n
每个区间的x长 i 度 i1为 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲 边梯形，他们的面积分别记作
n
S 1, S2,, Si,, Sn.则 S Si i 1
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这个常数叫做 f (x函 )在数 区[间 a,b]上的定积分
记作b f(x)dx,即
a
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abf(x)dxln i m i n1b naf(i)
这里，a和b分别叫做积分下限和 积分上限。区[间a,b]叫做积分区间， 函数f (x)叫做被积函数， x叫做积分变量， f (x)dx叫做被积式。
(i)
（类似方法求汽车行驶的路程）
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如果函f(数 x)在区[间 a,b]上连续，用分点 ax0 x1xi1xi xn b
将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个间 小区
[xi1,xi]上任取一点i(i 1,2,,n),作和式
n
i1
f (i)x
n i1
ba n
f (i)
当n时，上述和式无某限个接常近数，
(1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个 小区间：
记 i个 第区 [i 1,间 i]i( 1 ,2 为 , ,n ), nn
其长x度 i为 i11 nn n
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(2)近似代替、作和
取i ni(i1,2,,n),则
0 1x3d xSni n1f(n i)xi n1(n i)31 n
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定积分 b f (x)dx 的几何意义： a
如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,
那么定积分 b f (x)dx 表示 a
由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)
所围成的曲边梯形的面积。
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例1 利用定积分的定 算义 1x3， dx的计值。 0 解：f(令 x)x3
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n (2n
1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
lim lim 所以S
x0
Sn
x0
1 (1 1 )(1 1 ) 1， 3 n 2n 3
即所求曲边三角形的面 积为 1 。 3
分割
近似代替
求和
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取极限
f(xi)xi
xi-1 i xi
xn-1 b x
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) Dxi近似代替第i个窄曲边梯形
的
面
积．
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (i)xi ．
精i品1 课件
分割
近似代换
求和
取极限
•曲边梯形的面积近似为： n f (i)xi ． i1
n
Slim ni1
baf n
（2） 近似代替
S i S i'f(i n1) x(i n1)2n 1
（3）求和
n
Sn Si ' i 1
n f( i -1) 1 n ( i -1)2 1
i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
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（4）取极限
当分割无限变细，即 x 0(亦即n ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)时，
f ( 1 ) x 1 f ( 2 ) x 2 f ( 3 ) x 3 f ( n ) x n
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
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分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面方案“以直代曲”的具体操作过程
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（1）分割
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
O
精品课件 1
演示
x
当分点非常多（n非常大）时，可以认为 f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小）， 从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值 f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近 似表示小曲边梯形的面积