~ 为任意非零向量时， 和 称为正定矩阵， 当{v}或{P}为任意非零向量时，[k]和 [f ] 称为正定矩阵，正定 或 为任意非零向量时
矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 并左乘{f 等式两边， 对[k]求[k ] -1，并左乘 S}=[k]{v}等式两边，得: 求 等式两边
{v} [k ]{v} > 0和 {P} [ f ]{P} > 0
[ k ] { —柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 所以 [k ] 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵 实际中， 实际中，求刚度矩阵直接由求位移的方法计算刚度系数较 最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。 繁，最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。
1 T ~ U = {P} [ f }{P} 2 转置(11-6)式，并注意到 { f S } = [ k ]{v} 又：{P} ={ f S } 转置 式
同时，任何变形过程， 同时，任何变形过程，在稳定结构中所贮存的应变能永远是 正的。所以有： 正的。所以有： T T ~
1 T 得出应变能的第二个表达式： U = {v} [k ]{v} 得出应变能的第二个表达式： 2
~ =[ f ]
{v} = [ fɶ ][ fs ]
3. 结构的基本概念： 结构的基本概念：
(1) 应变能
以柔度或刚度矩阵可以方便地表达任一结构中所贮存 的应变能。 应变能U等于使体系变形所做的功 等于使体系变形所做的功， 的应变能。 应变能 等于使体系变形所做的功，即：
1 N 1 T U = ∑ Pi vi = {P} {v} (11(11-6) 2 i =1 2 ~ T为{P}的转置矩阵，将 {v} = [ f ]{P} {P} 的转置矩阵， 的转置矩阵 代入得： 代入得：