⎨ p+nq 数列1、数列中a n 与S n 之间的关系：a =⎧S1n S -S , (n = 1), (n ≥ 2). 注意通项能否合并。

⎩n n-12、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a n －a n-1=d ，（n≥2，n∈N+），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a、A、b 成等差数列⇔A =a +b 2⑶通项公式：a n =a1 + (n -1)d =a m + (n -m)d或a n =pn +q ( p 、q是常数）.⑷前n 项和公式：S n =na1+n (n -1)d =n (a1+a n)2 2⑸常用性质：①若m +n =p +q (m, n, p, q ∈N +)，则a m +a n =a p +a q ；②下标为等差数列的项(a k,a k+m,a k+2m, )，仍组成等差数列；③数列{a n+b}（,b为常数）仍为等差数列；④若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n +pb n }{a }( p, q ∈N *) 、，…也成等差数列。

⑤单调性：{a n}的公差为d，则：ⅰ）d>0⇔{a n}为递增数列；ⅱ）d<0⇔{a n}为递减数列；ⅲ）d=0⇔{a n}为常数列；( k 、p 是非零常数)、⑥数列{ a n }为等差数列⇔a n =pn +q （p,q 是常数）⑦若等差数列{a n }的前n项和S n ，则S k 、S2k -S k 、S3k-S2k…是等差数列。

3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a、G、b 成等比数列⇒G2=ab, （ab 同号）。

反之不一定成立。

k k +m k +2m ⎨ ⑶通项公式： a = a q n -1 = a q n -mn 1 ma (1- q n )a - a q⑷前n 项和公式： S n =⑸常用性质11- q = 1 n1- q①若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则 a m ⋅ a n = a p ⋅ a q ；② a , a , a , 为等比数列，公比为 q k(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③数列{a n } （为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；正项等比数列{a n } ；则{lg a n } 是公差为lg q 的等差数列；④若{a }是等比数列，则{ca }，{a 2}⎧ 1 ⎫n n n⎨ a ⎬ ⎩ n ⎭{a r }(r ∈ Z ) 是等比数列，公比依次是 q ，q 2 1q r .， ， nq⑤单调性：a 1 > 0, q > 1或a 1 < 0, 0 < q < 1 ⇒ {a n }为递增数列； a 1 > 0, 0 < q < 1或a 1 < 0, q > 1 ⇒ {a n }为递减数列； q = 1 ⇒ {a n } 为常数列； q < 0 ⇒ {a n } 为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑦若等比数列{a n }的前n 项和 S n ，则 S k 、 S 2k - S k 、 S 3k - S 2k … 是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，公式法：若已知数列的前n 项和 S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式 a n = ⎧S 1S - S , (n = 1) , (n ≥ 2) 构造两式作差求解。

⎩ nn -1用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1 和a n 合为一个表达，（要先分 n = 1 和 n ≥ 2 两种情况分别进行运算，然后验 证能否统一）。

累加法：形如 a n +1 = a n + f (n ) 型的递推数列（其中 f (n ) 是关于n 的函数）可构造：类型Ⅲ 类型Ⅱ 类型Ⅰ⎪ ⎪ ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨ n -2⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)将上述n - 1个式子两边分别相加，可得： a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1 , (n ≥ 2)①若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;② 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;④若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和.累乘法：形如 a= a ⋅ f (n )⎛ a n +1 =⎫f (n ) 型的递推数列（其中 f (n ) 是关于n 的函数）可构n +1⎧ a n⎪ a n⎪ ⎝ an⎭= f (n -1) ⎪ n -1 ⎪ a n -1造： ⎪ a f (n - 2)⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n - 1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1 , (n ≥ 2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

构造数列法：㈠形如 n +1 n q （其中 q 均为常数且 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列;（2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列;（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设 a n +1 += p (a n + ) ,展开移项整理得 a n +1 = pa n + ( p -1),与题设类型Ⅴ 类型Ⅳ =⎩ ⎭a n +1 = pa n + q 比较系数（待定系数法）得=q , ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q ) ⇒ a + q = p (a + q ) ,即p -1 n +1 p -1 n p -1 n p -1n -1 p -1⎧a + q ⎫构成以 a + q为首项，以 p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公 ⎨ n p -1⎬ 1p -1 ⎩ ⎭ ⎧ q ⎫ 式求出⎨a n + p -1⎬的通项整理可得 a n .法二：由 a= pa+ q 得 a = pa+ q (n ≥ 2) 两式相减并整理得 a n +1 - a n= p , 即 n +1nnn -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以 a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 a n .㈡形如 a n +1 n 1) 型的递推式：⑴当 ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设 a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以 a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项 公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得 a n .法二：当 f (n ) 的公差为 d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ，a n = pa n -1 + f (n -1) 两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得：b n = pb n -1 + d 转化为类型Ⅴ㈠求出 b n ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 a n .⑵当 ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设 a n +f (n ) = p [a n -1 + f (n -1)]，通过待定系数法确定的值，转化成以a 1 + f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + f (n )} 的通项整理可得 a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得 a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相n +1 n n +1 n 1 n +1 nn +减得 a- a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n = p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为 a = pa + q n （其中 p ，q 均为常数）或 a = pa + rq n（其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1= p • an + ， qn +1q q n q引入辅助数列{b }（其中b =a n），得： b = p b + 1 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。

nnq nn +1q n q⑶当 f (n ) 为任意数列时，可用通法：在 a= pa + f (n ) 两边同时除以 p n +1 可得到 a n +1 = an + f (n ) ，令 a n = b ，则 n +1 np n +1 p n p n +1 p n nb = b f (n ) ，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出b之后得 a = p n b .n +1 n p n +1n n n对数变换法：形如 a = pa q ( p > 0, a > 0) 型的递推式： 在原递推式 a= pa q 两边取对数得lg a= q lg a + lg p ，令b = lg a 得：n +1n +1nnnb n +1 = qb n + lg p ，化归为 an +1 = pa n + q 型，求出b n 之后得 a =10b n .（注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）。

倒数变换法：形如 a n -1 - a n = pa n -1a n （ p 为常数且 p ≠ 0 ）的递推式：两边同除于 a n -1a n ，转化为1 = 1 + p 形式，化归为 a = pa + q 型求出 1 的表达式，再求a ；a n a n -1n +1 n n a n还有形如a= ma n 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 1 = m 1 + m 形式，化归 n +1 pa + q a q a pn 为 a n +1 = pa n + q 型求出 1 的表达式，再求a n .a nn +1 n形如 a n +2 = pa n +1 + qa n 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{a n - a n -1} 的形式求解。