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多目标决策方法

多目标决策方法一.多目标决策方法简介1.多目标决策问题及特点(1) 案例个人:购物;买房;择业......集体或社会:商场,医院选址;水库高度选择...... (2) 要素行动方案集合X;目标和属性;偏好结构和决策规则(3) 多目标决策有如下几个特点:决策问题追求的优化目标多于一个;目标之间的不可公度性:指标量纲的不一致性; 目标之间的矛盾性;定性指标与定量指标相混合:有些指标是明确的,可以定量表示出来,如:价格、时间、产量、成本、投资等。

有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以:思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。

2. 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21≤≤≤x g x g x g TS p决策空间:}0)({≤=x g x X i 目标空间})({X x x f F ∈=两个例子:离散型;连续型3.多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4.多目标决策主要有以下几种方法:(1)化多为少法:化成只有二个或一个目标的问题;(2)直接求非劣解法:先求出一组非劣解,然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。

(3)分层序列法:将所有目标按其重要性程度依次排序,先求出第一个最重要的目标的最优解,然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解,一直求到最后一个目标为止。

((4)目标规划法:对于每一个目标都事先给定一个期望值,然后在满足系统一定约束条件下,找出与目标期望值最近的解。

(5)重排序法:把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。

(6)多属性效用法:各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示,通过效用函数构成多目标的综合效用函数,以此来评价各个可行方案的优劣。

(7)层次分析法:把目标体系结构予以展开,求得目标与决策方案的计量关系。

(8)多目标群决策和多目标模糊决策。

(9)字典序数法和多属性效用理论法等。

二、几种常见方法简介及应用1.加性加权法(1) 基本假设:1.属性描述用基数定量描述,且相互独立; 2.价值函数的形式是加性的。

虽然价值函数很难确切描述,但决策者认为效用合成可用加性,另外,每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。

(2) 符号说明:ij y :第i 个方案关于第j 个属性的取值;ij z :ij y 的规范值;j w :第j 个属性的权重;i v :第i 个方案的综合取值(3)加性加权模型:1max ii mv ≤≤1ni j ijj v W Z ==∑1,......i m= 1,.....j n = (1)ij z 的规范算法:max max min ij ij ij ij ijY Y Z Y Y -=- 当为j 成本型时,min max min ij ij ij ij ijiiY Y Z Y Y -=- 当j为效益型时,[]0,1ij Z ∈,当1ij Z =时,最优;0ij Z =时,最差。

规范后ij Z 是越大越优的。

Note :特殊问题的规范化值例子:人员招聘中对人的满意度的评价――――公务员的招聘(4)权重Wi 的求解 ――关键两种:一是直接由决策者给出;二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。

由决策者对目标的成对比较,来导出属性目标的权重:成对比较矩阵()ij n n A a ⨯=ij a :第i 个目标相对于第j 个目标的重要性(按1-9比例标度赋值,这是根据心理学家的研究,认为人们区分信息等做的极限能力为7±2,标度1,3,5,7,9对应于两因素相比为同等重要,略微重要,比较重要,非常重要和绝对重要,而2,4,6,8表示两判断之间的中间状态对应的极度值) 成对比较矩阵性质:正互反性jia 1a ij =,0W 0A max >≥>且存在时,,n λ;A 为一致阵0==↔i max ,n λλ例1:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=143214134132312231214321A ∑=n λ 1)(=A r 理论说明:二阶.三阶虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性,因而判断矩阵A 未必是一致阵。

但是仍要求A 有大体上的一致性。

也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如“甲比乙极端重要,乙比丙极端重要,而丙比甲极端重要的逻辑谬误。

因此对A 需作检验,关于A 的一致性检验分如下几步: (1) 计算一致性指标max 1nCI n λ-=- (2)(2)查找相应的平均一致性指标RI表1:1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RIn 1 2 345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15RI0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59(3)计算一致性比例CRCICR RI=(3) 如CR <0.1,则认为A 的一致性问题可接受,否则需对A 作适当的修正。

利用上述成对比较矩阵,可采用和法,根法,特征根法,最小平方法来计算权重,具体方法如下:和法: 111n iji n j kjk a W n a ===∑∑ 1,2,......i n = ,11nii w==∑(4) 例 2 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131231321311A 1593.01=W 5889.02=W2578.03=W 如果已求得各权重向量1w ,…wn ,则 max λ也可由下式计算得到:111max nij jnj ia wn w λλ===∑∑(5)根法: 11111n nij j i n n n kj k j a W a ===⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭∏∑∏ 1,2,......i n = , 11ni Wi ==∑(6)1507.01=W 5753.02=W 2740.03=W 特征根法:()max 0A I W λ-= ()12,,......Tn W W W W =11ni Wi ==∑ 得 唯一正解 (7)0536.3max =λ 1571.01=W 5936.02=W 2493.03=W 最小平方法: ()211min nnij j i i j a w w ==-∑∑11ni Wi ==∑(条件极值求得)(jiw w ≈ij a ) (8) 1735.01=W 6059.02=W 2206.03=W迭代法:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131231321311A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3131310ek k Ae e =+1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2206.06176.01618.010e⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=75.076.136.02e⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2602.06122.01301.07500.07648.13677.08825.2120e ...... 注意:差异不大,可根据具体情况选择使用计算实例:控制仪器的购买某人拟购买一个控制仪器,现有四种产品可供选择。

每种产品的满意度用4个目标去衡量,即:可靠度,成本,外观和重量。

每个目标对应的属性值都可以量化。

每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示的1X ,2X ,3X ,和4X 分别代表4个产品。

在这4个目标中,可靠度和外观的值越大越好,成本和重量值越小越好。

试帮助该人确定这四种仪器的优势。

仪器购买的决策矩阵方案属性可靠性()1f x 成本()2f x外观()3f x重量()4f x1X 7 89 6 2X 6 7 8 3 3X 5 6 7 54X41067表1方案4X 的每个属性值都劣于方案1X 的每个属性值,故方案4X 是一劣解,将其从方案集中排除,则待选方案为 1X ,2X ,3X 。

对效益型属性1f ,3f 和成本型属性 2f ,4f 利用(3)和(2)将方案1X ,2X ,3X 的属性进行规范化处理,得:10100.50.50.510100.333Z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵;124512122141211151211A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭(一致性检验不能少!) 采用(4)式(111n iji n j kjk a W n a ===∑∑)计算得:10.5174W =, 20.2446W =,30.1223W =, 40.1157W =最后计算得三个方案1X ,2X ,3X 的目标值i V 为:1ni j ij j V W Z ==∑ 故10.6397V =,20.5579V =,30.2831V =因此,四种产品的选择顺序为: 1234X X X X >>>2 基于理想解的排序模型(目标规划法)(1)基本假设1. 属性描述用基数定量描述,且相互独立;2. 决策者偏好用权 (2)符号说明*j Z :各属性规范化后的最优值,*x :理想解,即*x 所对应的各属性值都是规范化后的最优值i S :第i 个方案与理想解的测度(2) 基于理想解的排序模型()2*11min minni j ij j i mij S w Z Z ≤≤==-∑(9)如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同,可用如下模型计算:()2*11min minni ij j i mij S Z Z ≤≤==-∑ (10)注意:ij Y 的规范化可采用如下的方法: ()21ijij mij i Y Z Y ==∑ ()211mij i Z ==∑ (11)理想解*x 的各个属性值()*1,2,......j Zj n =的确定可用如下方 法''1,2,3......,JJ n JJ ==∅应用——控制仪器的购买(内容如上)首先排除劣解X4,将各方案的各个属性利用(11)式规范化得:0.66740.65540.64620.70710.57210.57340.57440.35360.47460.49150.50260.5893Z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此得理想解*x 的各个属性分量为:()0.66740.49150.64620.3536权重仍用加性加权模型的结果,即各个权重的属性分量为:()0.51740.24460.12230.1157代入(9)式计算得:10.1464S =,20.0835S =,30.1672S =即四种产品的选择顺序为:2134X X X X >>>3 线性分配模型(1) 基本假设1. 属性描述采用序数形式,决策者的偏好仍用权来表示2. 对某一属性,不同方案允许并列,但最终排序不允许并列。

(2) 符号说明:ij W 方案i X 排在位次j 的权重,称()ij m n W W ⨯=为权矩阵。

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