2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中 间状态（中性平衡状态）。
3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
第14章
三、结构失稳的两种基本形式
1、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质 上的突变，带有突然性。
P
P>Pc r
P
C
D
l
l
Δ
B
l/2
P2 Pc r P1
A
D'
(a)直线平衡状态
(b) 弯曲平衡状态
EI
解为 yA c ： o x sBsinx yA sinxB co x s
第14章
解为 yA c ： o x sBsinx yA sinxB co x s
2、 边 界 条 件 ： （1）x0 y0 1A0B1Δ0
（2）x0 y0 0AB0Δ0
（3）xl
y
Δ-y
xl
l
αs inl Ac os lB1(c os l As inlB)
R
M p y R ( l x ) ( 1 )
l-x
y M(x)
将MEyI 代 入 式 1）（ ：
EyIpyR(lx)
令 p, 则 y ： 2 y R (l x ) (2 )
EI
EI
式 2 ） （为 常 系 微数 分二 方 y阶 程 A c非 o ， x sB 齐 s其 in x次 解 R (lx ： )
由边界条件确定微程分中方的常数：
p
稳 定 方 程 （ 特 征 方 程：）
x 0 y 0
x 0
y 0
x l y 0
1 A0 Bl R 0 p
0 Aα B1 R 0 p
cosαl A sinl B0 R 0
p
1 0 l
D 0
1 0
cos l sin l 0
lcoslsinl 0 tgl l
l
l
即 (ls： l i c n l o ) ( s A lcl o ss l i) n 0 B
1
0
于是： 0
(lsin lco ls) (lco ls sin l)
1 0 0 0
3、 展 开 、 整 理定后方，程 tg得 l： 稳 1 l
4、解稳定方pc程 r， 2EI 得 0.7： 4E l2 I
0
4.493
2
将l4.49代 3 入 pcr2EI 得 ： pcr4.4923EI20.19E l2 I(0.27El)2I
l
第14章
例14-1 试求图Βιβλιοθήκη 结构的临界荷载。pC
pcr
pcr 解1、 ：建立坐标系 离、 体取 、隔 写平衡 M p ( y ) (1 )
l EI
B
l EI
1、三种平衡状态 图1 （1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。
（2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。
图2
（3）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。
2、解题思路
图3
（1）当外力为保守力系时
（体系 的 U （ 总 变 势 形 W 能 （ 势 ） 外 能力 ）势能
WTr(外力的功） UTr （2）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时
第14章
（另法）例14-1 试求图示结构的临界荷载。
p
C
l EI
B
l EI
A
pcr
x x y
x
y
M(x)
A
y
MA p p
解 ： 建 立 坐 标 下系 半后 部离 ， 为体 以 隔写 平 衡 方 程
M p M y A p p y p ( y )
亦得同样结果。
第14章
三 、能量法
（一）用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第14章
第14章 结构的稳定计算
14.1 两类稳定问题概述
一、结构设计应满足三方面的要求 1、强度 2、刚度 3、稳定性
二、基本概念 1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态
转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称 “失稳”。
A
x x
M(x) y
y
2、 边 界 条 件 ：
将MEyI 代 入 式 1）（ ：
EyIpyp
令 p, 则 y ： 2y 2 (2 )
EI
解为 yA c ： o x sBsinx yA sinxB co x s
（ 1） x0 0y 1A0B1Δ0
（ 2） x0 y0 0AB0Δ0
（ 3） xl yΔy-xl αsin lAco lsB1(co lsAsin lB)
若UTr ,则原体系处于稳定 。平衡 若UTr ,则原体系处于不衡稳。定平 若 UTr,则原体系处 ，于 利随 用遇 此平 条 荷衡 件 载确 。定临
第14章
tg ll 左式为“超越方程”
解“超越方程”的两种方法：
1、逐步逼近法（试算法）：
给 初值后，算 代 tg 入 ll方 ,使程 其， 逐计 渐而 逼求 近 。 得 于
2、图解法：
以l为自变量，分别绘出z= l和z=tg l的图形，求大于零的第一个交点， 确定l。
z tgl
z l
z
3
5
2
2
2
l
即 (ls： l i c n l o ) ( s A lcl o ss l i) n 0 B
1
0
于是： 0
(lsin lco ls) (lco ls sin l)
3、 展 开 、 整 理定后方，程 tg得 l： 稳 1l 4、解稳定方pc程 r， 2EI 得 0.7： 4E l2 I
1 0 0 0
O
Δ
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
第14章
2、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式， 但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构 不能正常工作。
eP P
P
Δ
P
(a) 偏心受压杆
A
B
Pe
C
Pc r
O
Δ
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
第14章
二、静力法
1、定义 假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相
应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。 2、步骤 （1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。 （2）列静力平衡方程。 （3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界
条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。
第14章
3、举例 （1）试求图示结构的临界荷载。
p
pcr
EI l x
x
y
pcr
解：建立坐标系 离、 体取 、隔 写平衡
第14章
例14-1 试求图示结构的临界荷载。
p
C
pcr
pcr
l EI
B
l EI
A
x x
M(x) y
y
解1、 ：建立坐标系 离、 体取 、隔 写平衡方程
M p ( y ) (1 )
将 M E y I 代入 1 ） E 式 y ： Ip （ y p
令 p, 则 y ： 2y 2 (2 )