X1= -Δ1P/δ11=qa/8
M = M1X1 + MP
qa2/8
M 3qa2/8
10
§6-3 力法计算二次及多次超静定结构
m
X2 基本未知数(量)：多余约束处的约束反力
（多余未知力）。
EI X1
l
基本结构：原结构去掉多余约束后的静定 结构。(具有多样性)
l
基本体系：基本结构上作用了外荷载与多
静定结构+多余约束=超静定结构 静定结构的未知力个数等于静力平衡方程数
超静定结构的未知力个数大于静力平衡方程数,多出来未知力就
是多余约束的约束反力。
多余约束的约束反力就是用力法解超静定结构的基本未知数，
一个多余约束就是一个未知数。
一个多余约束的超静定结构叫做一次超静定结构,两个多余约束
的超静定结构叫做二次超静定结构。
3. 只能够去掉约束构成基本结构，切不可增加约束。
7
力法计算一次超静定结构的步骤
1.确定基本未知数，选取基本结构，列力法基本方程。 δ11X1 + Δ1P =0
2. 作M1、Q1、N1、MP、QP、NP图。
3. 计算δ11、Δ1P。
∫ ∫ ∫ δ11 =
M12 ds + EI
k Q12 ds + GA
X1
基本结构
基本未知数(量)：多余约束处的约束反力 （多余未知力）。
基本结构：原结构去掉多余约束后的静定结 构。(基本结构具有多样性)
基本体系：基本结构上作用了外荷载与多余 未知力。
Δ1
力法基本方程（力法方程，变形协调方 程）：
基本体系
在外荷载和多余未知力共同作用下，基本 X1 结构在多余约束处的位移与原结构一致。
第六章 力法
§6-1 超静定次数的确定
§6-1 超静定次数的确定 §6-2 力法计算一次超静定结构 §6-3 力法计算二次及多次超静定结构 §6-4 对称性的利用 §6-5 力法计算超静定桁架及组合结构 §6-6 支座移动温度变化作用下超静定结构的计算 §6-7 超静定结构的位移计算 §6-8 两铰拱的计算 §6-9 无铰拱的计算 §6-10 空间刚架的计算
EI
q EI
X1 a
a
X1 基本结构
a
M1 X1=1
MP
0.5qa2
δ11X1 + Δ1P =0
∫ δ11 =
M12 ds EI
=
1 EI
g( a2 2
g 2 ga 3
+
a2 ga)
=
4a3 3EI
∫ ∆1P =
M1M P ds EI
=
−
1 g1g qa2 gaga EI 3 2
=
− qa4 6EI
（变形协调条件）
Δ1= 0
作业：6-2(a), 6-3(a)、6-3(b)! 6-4(a), 6-9(a)! 4
q
EI l X1
Δ1
=
基本体系 X1
Δ1= δ11X1 + Δ1P
Δ1
基本体系 X1 Δ11
+
X1 δ11
X1=1
Δ1= 0
q Δ1P Δ11=δ11X1
力法基本方程 Δ1= δ11X1 + Δ1P=0
m
Δ1 Δ2
Δ1= 0
X1 X2
Δ2= 0
=
δ12X2 δ22X2
m
X2
+
Δ1PΔ2P
δ12 δ22 X2=1 Δ1=δ11X1 +δ12X2 +Δ1P=0
Δ2=δ21X1 +δ22X2 +Δ2P=102
m
X2
l
EI X1
l
Δ1= δ11X1 +δ12X2 +Δ1P=0 Δ2= δ21X1 +δ22X2 +Δ2P=0
N12 ds > 0 EA
∫ ∫ ∫ ∆1P =
M1M P ds + EI
k Q1QP ds + GA
N1NP ds EA
4. 解力法基本方程，得X1。(δ11>0,方程有唯一解) X1= -Δ1P/δ11
5. 作内力图。
M = M1X1 + MP
Q = Q1X1 +QP
N = N1X1 + NP 8
余未知力。
基本结构
m
Δ1 Δ2
X1 X2 基本体系
基本方程（力法方程，变形协调方程） ： 在外荷载和多余未知力共同作用下，基本 结构在多余约束处的位移与原结构一致。
Δ1= 0 Δ2= 0
作业：6-2(c), 6-3(d) 11
m
X2
l
EI X1
l δ11X1 δ21X1
X1
+
δ11 δ21
X1=1
MP
∫ ∆1P =
M1 M P ds EI
= − 1 g1g ql2 glg3l = − ql4 EI 3 2 4 8EI
M = M1X1 + MP
ql2/8
ql2/8
M图
6
基本结构的多样性
q
l
X1
X1
q X1
关于基本结构的注意事项：
1. 去掉的约束数不能过多，以至于剩下的是可变体系。
2. 去掉的约束数不能过少，以至于剩下的还有多余约束（本条以 后 作弯矩图。
M = M1X1 + MP
∫ ∆1P =
M1M P ds = − 1 g1g Pl g l g( 2gl + 1g l )
EI
EI 2 2 2 3 3 2
= − 5Pl3 48EI
3Pl/16 PM
4. 解方程 X1= -Δ1P/δ11=5P/16
9
5Pl/32
例2. 计算图示超静定刚架,作弯矩图。
如果原结构在多余约束处 有支座移动Δ1 ，则
Δ1= δ11X1 +Δ1P = Δ1
5
δ11 X1=1
l
X1=1 M1
荷载
l
P=1 M1
单位力
∫ δ11 =
M
2 1
ds
=
1 gl2 g 2l =
l3
EI
EI 2 3 3EI
δ11X1 + Δ1P =0
X1= -Δ1P/δ11=3ql/8
Δ1P
0.5ql2
δ11 δ12 δ21 δ22
为正定矩阵，行列式大于零，方程有唯一解。
δij：Xj=1作用下基本结构沿Xi方向的位移。 δii >0, δij =δji ΔiP：外荷载作用下基本结构沿Xi方向的位移。
13
l
X1=1
M1
l
m X2=1
M2
m
不光要确定超静定的次数,更重要的是确定具体的未知数（多余
约束的约束反力）。
1
X1
1次
X1
X2
X3
3次 作业：6-1
X1 X2 2次
X1 X2 X3 X4 X5 X6
6次
每个封闭的格子都是三个多
余约束!
2
2
3次
1 9次
0次
3次
3
3
4次 2
1
1
2次
2
2
2
6次
3
§6-2 力法计算一次超静定结构
q EI l
例1. 计算图示超静定梁,作弯矩图。
EI P
1.确定基本未知数，选取基本结构，列力法 基本方程。
l/2 l/2 P
δ11X1 +Δ1P =0
2. 作M1、 MP图。
Pl/2
P
基本体系 X1
l
l/2
3. 计算δ11、Δ1P。
M1
∫ δ11 =
M12 ds = 1 gl2 g 2gl = l3 EI EI 2 3 3EI