【解答】解：∵z﹣2＝（z+2）i，∴z（1﹣i）＝2+2i，
6
2 + 2푖 2(1 + 푖)2 故 z = 1 ‒ 푖 = (1 ‒ 푖)(1 + 푖) = 2푖． 故选：C．
【点评】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型．
3．（3 分）（2021•全国二模）圆 x2﹣4x+y2＝0 与圆 x2+y2+4x+3＝0 的公切线共有（ ）
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．
【分析】容易求出集合 A＝{x|x＜0，或 x＞2}，从而可判断集合 A，B 的关系． 【解答】解：A＝{x|x＜0，或 x＞2}，且B = {x| - 5＜푥＜ 5}；
∴A∪B＝R．
故选：C．
【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念．
（Ⅱ）求|AB|．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．（Ⅰ）已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝2，求证：a4+b4≥2；
（Ⅱ）已知
a＞0，b＞0，c＞0，求
1 a3+b3+c3+（푎
+
푏1
+
1푐）3
的最小值，并写出取最小值时
a，b，c
的
值．
5
2021 年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁 省实验中学）高考数学二模试卷（文科）
18．如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，点 D 是棱 B1C1 的中点，AB＝AC = 2，BC＝BB ＝2．
1
（Ⅰ）求证：AC1∥平面 A1BD； （Ⅱ）求点 D 到平面 ABC1 的距离．
3
2
19．一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合 花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前 10 天，微店百合花的售价为每支 2 元，云南空运来的百合花每支进价 1.6 元，本地供应商处百合花每支 进价 1.8 元，微店这 10 天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243， 263，241，265，255，244，252． （Ⅰ）求今年四月前 10 天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）预计四月的后 20 天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前 10 天相同，百合花进货价格与 售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代 表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运 250 支，还是 255 支百合 花，四月后 20 天百合花销售总利润会更大？
A． 2
B．2
C．3
D．4
2푥
1
10．（3 分）已知函数 f（x）＝ex﹣e﹣x + 2푥 + 1，若 f（lgm）＝3，则 f（lg푚）＝（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．﹣2
D．﹣1
练 11．（3 分）已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（
）
试卷 25
A． 2 휋
19 B． 2 휋
C．127휋
C．A∪B＝R
D．A∩B＝∅
2．（3 分）已知 z﹣2＝（z+2）i（i 为虚数单位），则复数 z＝（ ）
A．1+2i
B．1﹣2i
C．2i
D．﹣2i
3．（3 分）圆 x2﹣4x+y2＝0 与圆 x2+y2+4x+3＝0 的公切线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
4．（3 分）将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2 次正面朝上，1 次反面朝上”的概率为（ ）
2
{푡
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x =푦- =1 2+2푡 2 （t 为参数），以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 =
12 4푠푖푛2휃 + 3푐표푠2휃，直线 l 与
曲线 C 交于 A，B 两点．
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅰ）求证：曲线 y＝f（x）与 y＝g（x）在（1，1）处的切线重合；
（Ⅱ）若 f（x）≤g（x）对任意 x∈[1，+∞）恒成立．
（1）求实数 a 的取值范围；
푛(푛 + 1)
푛
（2）求证：ln[（n+1）!•n!]＜ 2 - 2(푛 + 1)（其中 n∈N*）．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
象，且 g（﹣x）＝﹣g（x），则 φ 的一个可能值为（ ）
A．휋6
B．휋4
C．휋3
D．51휋2
푥2 푦2 9．（3 分）双曲线 C：푎2 - 푏2 = 1（a＞0，b＞0），F1，F2 分别为其左，右焦点，其渐近线上一点 G 满足
GF1⊥GF2，线段 GF1 与另一条渐近线的交点为 H，H 恰好为线段 GF1 的中点，则双曲线 C 的离心率 为（ ）
A．3
B．1
33 C． 2
3 D．2
7．（3 分）四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 PA＝AB＝2，则直线 PB 与 平面 PAC 所成角为（ ）
A．휋6
B．휋4
C．휋3
D．휋2
1
휋 8．（3 分）将函数 f（x）＝sin（2x + 3）的图象向右平移 φ（φ＞0）个单位长度，得到函数 g（x）的图
D．8π
12．（3 分）定义区间[a，b]，（a，b），（a，b]，[a，b）的长度为 b﹣a．如果一个函数的所有单调递增区
间的长度之和为 m（其中 m∈（0，e]，e 为自然对数的底数），那么称这个函数为“m 函数”．下列四个
命题：
①函数 f（x）＝ex+lnx 不是“m 函数”；
2
②函数 g（x）＝lnx﹣ex 是“m 函数”，且 mem＝1；
1 A．4
3 B．8
1 C．2
3 D．4
【考点】CA：n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率．
7
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】此问题相当于进行 3 次独立重复试验恰好发生 2 次正面朝上的概率．
【解答】解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，
则出现“2 次正面朝上，1 次反面朝上”的概率是 P
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 小题.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2021•全国二模）已知集合A = {x|푥2 ‒ 2푥＞0}，퐵 = {푥| ‒ 5＜푥＜ 5}，则（ ）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．A∪B＝R
D．A∩B＝∅
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
1 A．4
3 B．8
1 C．2
3 D．4
5．（3 分）已知 α 是第三象限角，且 cos（휋2 + 훼）
=
3 5，则
sin2α＝（
）
24 A．25
24 B． - 25
7 C．25
7 D． - 25
→→
6．（3 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠DAB＝60°，点 E，F 分别为 BC，CD 的中点，则AE ⋅ 퐵퐹 = （）
则两圆的圆心距为 4，两圆半径和为 3，
因为 4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条．
故选：D．
【点评】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方 程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．
4．（3 分）（2021•全国二模）将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2 次正面朝上，1 次反面朝上” 的概率为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【考点】JB：两圆的公切线条数及方程的确定．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．
【分析】根据题意，把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心 距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆 x2﹣4x+y2＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心坐标为（2，0）半径为 2； 圆 x2+y2+4x+3＝0，即圆（x+2）2+y2＝1，其圆心坐标为（﹣2，0）半径为 1；
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．
【分析】由诱导公式可以求出角 α 的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为 1 这一关系，可 求出 α 的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出 sin2α．
휋
3
3
5
5
1α
【解答】解：cos（2 + 훼） = ，可得 sinα =- ，∵sin2α+cos2α＝ ， 是第三象限角
=
퐶23(12)2
⋅
1 2
=
3 8．
故选：B．
【点评】本题考查了 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率．
5．（3 分）（2021•全国二模）已知 α 是第三象限角，且 cos（휋2 + 훼）
=
3 5，则
sin2α＝（
）
24 A．25
24 B． - 25
7 C．25
7 D． - 25
【考点】GS：二倍角的三角函数．