特性1
证明：在流场中任取一流线
s
， y
则流线上任一点的速度与流
线相切。微元线段 矢量 d s 与
对应的速度矢量 v 之间的关系
式为
dx dy vx vy
流线微分方程
o
v s
ds dy
vy
dx
vx
x
v ydx vxdy 0 d 0
流函数值相等的点 可连成一条流线
证明了沿一条流线各点的流函数值相等。
q 2 1
特性3
证明：对于平面势流，有
z
1 ( v y 2 x
v x y
)
0
代入
x
v y
,
y
vx
得到 即
( ) ( ) 0
x x y y
2 2
x2 y2 0
例 3. 一平面恒定流动的流函数为 (x, y) 3x y
试求速度分布，写出通过 A（1，0）和 B（2， 3 ） 两点的流线方程，和两点之间连线的通过流量。
(
z
)
z
(
y
)]
0
类似可推出 y z 0
因此，存在速度势函数的流动必定无旋。
流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。
特性3
等势面：速度势函数取相同值的点构成空间曲面， 即 Φ(x, y, z)=C
证明：在等势面上取一点O，并在该面上过O任
取一微元线段矢量 d L dxi dy j dz，k该点
特性2
设ψ1、ψ2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，要 求证明通过AB两点间单位厚度的流量q=ψ2-ψ1。
证明： 取微元线段 d s ，过微元线段的速度为 v ， 则单位厚度的微元流量dq的表达式为
dq v d s vxdy vydx d
通过线段AB的流量为
B
B
q
dq
A
d
A
B
A
s x
y
z
vx cos(s, x) v y cos(s, y) vz cos(s, z)
vs
势函数沿任意方向的导数值 等于该方向上的速度分量
特性2
证明：设对某一流动，存在势函数Φ(x, y, z)，流动的
角速度分量
x
1 (vz 2 y
v y z
)
代入Φ(x, y, z)，有
x
1[ 2 y
数Ψ(x, y)全微分的充分必要条件。
即 d v ydx vxdy
函数ψ的全微分为
d dx dy
x
y
比较两式，得到
x v y , y vx
函数Ψ(x, y)称为流函数。
流函数的特性
1. 沿同一流线流函数值为常数 2. 通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流
线上的流函数的差值。 3. 在有势流动中流函数也是一调和函数
vx v y vz 0 x y z
对于有势流动
x v x , y v y , z v z
得到
2 2 2
x2 y 2 z 2 0
例1. 有一个速度大小为v(定值)，沿x轴方向的均匀流动， 求它的速度势函数。
解： vx v v y vz 0
判断流动是否有势
x
1 ( vz 2 y
即 0
或 vz v y , vx vz , vx v y
y z z x y x
由数学分析知，上面三个微分方程式的存在正是
vxdx v ydy vzdz 成为某一函数Φ(x, y, z)
全微分的充分必要条件。
即 d v xdx v ydy v zdz
函数Φ的全微分为
d dx dy dz
解：
vx
y
1
vy 3
x
将A点坐标代入 (x, y) 3x y
得到 A 3 因此通过A点的流线方程为 3x y 3
同理得到 B 3
B点的流线方程依然为 3x y 3
y2
dx
x2
y
y2
dy
q
2
1 2
d(x2 y 2 x2 y2
)
q
2
ln
x2 y2
二、流函数
连续的平面流动存在流函数。应说明，空间三 维流动没有流函数
平面流动中，不可压缩流体的连续性方程为
vx v y 0 x y
或
vx v y x y
由数学分析知，上式正是 v ydx vxdy 成为某一函
速度势函数的特性
1. 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影 2. 存在势函数的流动一定是无旋流动 3. 等势面与流线正交 4. 不可压缩流体中势函数是调和函数
特性1
证明：任意曲线s上一点M(x, y, z)处速度分量分别
为vx、 vy 、 vz 。取势函数的方向导数
cos(s, x) cos(s, y) cos(s, z)
处速度 v vx i vy j vz k
v dL v xdx v ydy v zdz
dx dy dz
x
y
z
d
等势面上dΦ=0，得证。
特性4
调和函数: 满足拉普拉斯（ Laplace ）方程的函数。
Laplace
方程： 2 x2
2 y2
2 z 2
0
证明：不可压缩流体的连续性方程为
r：v q / 2 r （q 是正常数）。证明这一流动是有势
的，并求解势函数。
解：
vx
q cos 2 r
qx
2 r2
q
2
x x2 y2
vy
q sin 2 r
q
2
y r2
q
2
x2
y y2
z
1 ( v y 2 x
v x y
)
0
因此，流动无旋，即有势。
d
v xdx
v ydy
q
2
x2
x
v y z
)
0
z
1 ( v y 2 x
v x y
)
0 x
)
0
流动无旋，即有势, 有 d v xdx v ydy v zdz vdx
积分，得到 vx C
因常数C对Φ所代表的流场无影响，令C=0，
最后速度势函数为 vx
虚 线 为 等 势 线
例 2. 一平面恒定不可压缩流动的流线为通过原点的 向外发射的射线，速度大小 v 反比于这点到原心距离
x
y
z
比较两式，得到
x v x , y v y , z v z
函数Φ(x, y, z)称为速度势函数，无旋流动又称为有
势流动 。
当流动有势时，流体力学的问题将得到很大的简
化。不必直接求解三个速度分量，而只需要先求
出一个速度势函数Φ，从而可以得到速度分布vx、
vy 、 vz ，继而再 依据伯努利方程得到压强分布。
第七章 理想流体动力学
实际流体都粘性，在流体力学研究中，为 了简化问题，引进了理想流体这一假设的流体 模型，理想流体的粘度为0。
在实际分析中，如果流体粘度很小，且质点 间的相对速度又不大时，把这类流体看成是理 想流体。
第一节 速度势函数和流函数
一、速度势函数
在无旋流动中，每一点处的旋转角速度都为零，