1 1
1 1
导模
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
波导的n1、n2界面的全反射临界角 波导的n1、n3界面的全反射临界角 因为 n2 n3，所以 C12 C13
C 12 arcsin
C 13 arcsin
n2 n1
n3 n1
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第一章 平板波导
X 覆盖层 薄膜层 衬底层
Z
n3 n1 n2
Y
平板波导
Z-光波传输方向
从物理量随着指标变化来看，平板波导只与X、Z两 个指标波导。又可称平板波导为二维波导。
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第一章 平板波导
设n1 > n2 n3
n2= n3－对称平板波导； n2 n3－非对称平板波导；
sin 1 sin C 12 sin C 13
将
sin C 12
n2 n1
代入
n1sin 1 n2
n2 sin1 n1
k0n1sin 1 k0n2
而传播常数
k1z k0 n1 sin 1
n2 k0
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第一章 平板波导
1、导模 （1）传播常数 因为是导模，所以 1 > C12 C13， 定义：传播常数－薄膜层中，沿Z方向的波数。
k1z k0 n1 sin 1
n1k0
1
Z
＝k1z =n1k0 sin1
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第一章 平板波导
覆盖层中，
2 2 2 k3 x k0 n3 2 0
所以， k2x、k3x为实数。 意义：辐射模情形，衬底、覆盖层中，光场随着x坐 标变化(离开波导)沿X方向有效传播，产生辐射，能
量不能有效地沿Z方向传输。
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第一章 平板波导
三、导模横向谐振条件 (导模色散方程、特征方程)
n3k0 < < n2k0
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第一章 平板波导
衬底中，
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n2 k2 x k2 z k2 x 2
2 2 2 k2 x k0 n2 2 0
覆盖层中，
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n3 k3 x k3 z k3 x 2
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
§1.1 平板波导几何光学分析 一、全反射分析
nA
X Z
A A
光学Snell定律 n A sin A nB sin B
全反射临界角
nB
B
折射定律
X
n A nB 若
，当 arcsinnB A
，
nA
Z
nA
nB
A A
根据电磁场理论－界面切线场连续，即在n1、
n2界面两侧，以及n1、n3界面两侧沿Z方向的传输
行为相同，可以证明：
k 2 z k 3 z k1z
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
可见，导模的传播参数 β， 就是波导各层中 （相等的）沿传输方向的波矢分量
k 2 z k 3 z k1z
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第一章 平板波导
（2）衬底和覆盖层中，导模光场随着X坐标变化分析 衬底中
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n2 k2 x k2 z k2 x 2
2 2 2 k2 x k0 n2 2
覆盖层中
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n3 k3 x k3 z k3 x 2
2 2 2 k3 x k0 n3 2 0
可见， k2x为实数，k3x为纯虚数 意义：衬底辐射模情形，覆盖层中，随着x坐 标变化(离开波导)，光场作指数衰减；衬底中，光
场随着x坐标变化(离开波导)，有效传播，产生衬
底辐射； 能量不能有效沿Z方向传输。
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第一章 平板波导
3、辐射模 因为 1 < C13 C12 , 所以 sin 1 < sinC13 sin C12 sin 1 < n3/n1 n2/n1 所以 n1k0sin 1 < n3k0 n2k0
所以，传播常数 k1z k0 n1 sin 1 满足
< n3k0 n2k0
其中 E0 (r ) 、H 0 (r ) －与空间坐标有关的振幅 k －波矢 2 －波数。n-折射率 k | k | nk 0 n
k0 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
k k x i x k y i y kz iz
E ( r , t ) E0 e
i (t k r )
E0 e
E0e i[t ( k3 x x 0 y z )] E0e i[t ( iqx z )] E0e qx e i[t z ]
波导是无源的，随着X坐标变化只能是衰减。 所以， p、q分别为衬底、覆盖层中衰减系数。
第一章 平板波导
• 波导中光模式【模式：光场的存在】 1、导模 1 > C12 C13 光沿Z方向有效传输。光能量被限制在n1中，沿 X方向呈衰减。
X Z
n3 n1 n2
1 1
1 1
导模
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第一章 平板波导
2、衬底辐射模 C13 < 1 < C12
i [ t ( k 2 x x 0 y z )]
E0e i[ t ( ipx z )]
E0e px e i[ t z ]
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第一章 平板波导
覆盖层，
2 k3 x q2 ,
k3 x iq
i [t ( k 2 x x k 2 y y k 2 z z )]
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第一章 平板波导
衬底中，
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n2 k2 x k2 z k2 x 2
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n3 k3 x k3 z k3 x 2
2 2 2 k2 x k0 n2 2 0
所以
第一章 平板波导
又
θ1 900
k0 n1 sin1 k0 n1 sin1 | 900 k0 n1
1
所以， 导模传播常数满足
n2 k0 n1 k0
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第一章 平板波导
定义有效折射率 导模
N / k0
n2 N n1
第一章 平板波导
平板波导是形式最简单的光波导，是波导光学 的基本结构。
Z(传输方向，无限远) X(折射率分布方向)
覆盖层 （+X方向无限，Y方向无限）
薄膜层（波导层） （Y方向无限大）
折射率n3 折射率n1 折射率n2 衬底层 （-X方向无限，Y方向无限）
Y
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q为覆盖层中沿X方向的衰减系数。
注意：p、q为实数。
2 k2 x p 2 , 在衬底，
k 2 x ip
E ( r , t ) E0 e E0 e
i ( t k r )
E0 e
i [ t ( k 2 x x k 2 y y k 2 z z )]
2 2 2 2 | k | k 2 k x k y k z2 k0 n2
平板波导Y方向波矢分量=0 推导：
E(r , t ) E0 (r )e
i (t k r )
H (r , t ) H 0 (r )e
i (t k r )
其中 E0 (r ) 、 0 (r )与Y无关（不随Y变化而变化）。 H
相位差，应该为2m
n1中，波数为k0 n1，X方向的波数分量(横向相位 常数)
k1 x k0 n1 cos 1
i [t ( k x x k y y k z z )] i ( t k r ) E ( r , t ) [ E 0 ( r )e ] E0 (r ) e y y y
ik y [ E 0 ( r )e
i ( t k r )
] 0
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第一章 平板波导
k y 0
k1 y k2 y k3 y 0
所以，平板波导
k k x i x kz iz
2 2 2 2 | k | k k x kz2 k0 n2
问题：波矢的意义？
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
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第一章 平板波导
2、衬底辐射模 因为 C13 < 1 < C12 , 所以 sin C13 < sin 1 < sin C12 n3/n1 < sin 1 < n2/n1 所以 n3k0 < n1k0sin 1 < n2k0 此时，传播常数 k1z k0 n1 sin 1 满足
2 2 2 k3 x k0 n3 2