矩阵的同时相似上三角化问题
张永伟（2011080010008）
数理基础科学班
指导教师：王也洲、何军华
【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。
【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式
一．引言
文【1】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。
但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。
我们又知道，任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，任意n 阶矩阵都能相似上三角化。
为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。
二．正文
定义2.1：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。
性质2.1：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。
证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得
111212221000n n nn a a a a a P AP a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且111212221000n n nn b b b b b P BP b -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
设12(,,,)n P a a a =K ，则1111A a αα=，1111B b αα=。
所以,A B 有公共的特征向量1α。
■
因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。
性质2.2：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA -为幂零矩阵。
证明：由性质2.1的证明可知,
121112121000
00
00000n n n n n n c c c c c AB BA c ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭。
又因为
1121112121000
000
00000n n n n n n n c c c c c c ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭， 所以1()0n AB BA --=，即AB BA -为幂零矩阵。
■
性质2.3：设,A B 为2阶矩阵，那么
(1)若AB BA -为幂零矩阵，则()rank 1AB BA -≤；
(2)()rank 1AB BA -≤当且仅当,A B 有公共的特征向量。
证明：因为0A =或0B =时，结论显然成立，所以不妨假定0,0A B ≠≠，当AB BA -为幂零矩阵时，易知AB BA -的特征值一定为0，于是存在可逆矩阵Q 使得
1000c AB BA Q Q -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
所以()rank 1AB BA -≤。
又因为
( )B AB BA A B A ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭
，
当()rank 0AB BA -=时，有rank 2B A ⎛⎫<
⎪-⎝⎭，从而方程0B X A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭有非零解ε，显 然ε是,A B 的公共特征向量；
当()rank 1AB BA -=时，根据Sylvester 不等式，知
()rank rank( )rank 2B AB BA A B A ⎛⎫-≥+- ⎪-⎝⎭。
若rank 2B A ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，显然,A B 有公共特征向量；若r a n k 2B A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，则r a n k ( )1A B ≤，此时必有()()rank 1,rank 1A B ==，于是存在可逆矩阵T 使得
1000a T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭或000b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
其中,0a b ≠。
设111212122b b T BT b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则当1000a T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭
时，1212100ab AB BA T T ab -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，所以120ab =或210ab =，显然，此时,A B 有公共特征向量；同理当1000b T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭
时，
,A B 也有公共特征向量。
以上我们证明了二阶矩阵,A B 有公共特征向量是()rank 1AB BA -≤的必要条件，接下来我们证明这个条件也是充分的。
不妨设ε是,A B 的公共特征向量，将ε扩充为二维空间的一组基,'εε，令( ')P εε=,显然11,P AP P BP --为上三角矩阵。
当,A B 有公共特征向量ε时，则()0A B B A X -=有非零解ε，所以()rank 1AB BA -≤。
■
下面讨论更为一般的情形。
性质2.4：假定,A B 为n 阶矩阵且3n ≥，若()rank 1AB BA -≤，则,A B 有公共特征向量。
证明：因为( )B AB BA A B A ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭
，由Sylvester 不等式得到
()rank rank( )rank B AB BA A B n A ⎛⎫-≥+- ⎪-⎝⎭。
若rank B n A ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，则,A B 有公共特征向量；若rank B n A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，
则有rank( )1A B ≤，于是()()rank 1,rank 1A B ==，又因为()()rank rank rank B B A A ⎛⎫≤+
⎪-⎝⎭,所以2n ≤，此时与3n ≥矛盾。
■
性质2.5：满足条件()rank 1AB BA -≤的任意n 阶矩阵,A B 可以同时上三角化。
证明：由条件知矩阵,A B 具有公共特征向量，不妨设1ε是,A B 的公共特征向量，将其扩充为n 维空间的一组基12,,,n εεε；当2n ≤时，由性质2.4知，,A B 可以同时上三角
化；假设当1n k =-时结论也成立，现在考虑n k =时的情况。
不妨设1ε是,A B 的公共特
征向量，同样将之扩充为k 维空间的一组基12,,,k εεε，令()12,,,k P εεε=，则有
1110P AP A λ-*⎛⎫= ⎪⎝⎭，1110P BP B μ-*⎛⎫= ⎪⎝⎭。
于是1111100A B B A P P A B B A -*⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为()1111r a n k 1A B B A -≤，所以
()rank 1AB BA -≤，由数学归纳法知,A B 可以同时上三角化。
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推论2.1：假定()rank AB BA k -≤，那么当2n k ≥时，,A B 有公共特征向量。
性质2.6：如果存在,a b R ∈使得AB BA aA bB -=+成立，则,A B 可以同时上三角化。
证明：因为( )0B aI AB BA aA bB A B A bI -⎛⎫---==
⎪--⎝⎭
,与前面证明类似，可以得出结论。
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推论2.2：若存在k R ∈满足条件AB kBA =,则,A B 可同时相似上三角化。
推论2.3：若存在k R ∈使得0k k A B -=成立，则,A B 可同时相似上三角化。
三．总结
本文主要讨论了两个矩阵能同时相似上三角化的充分条件、必要条件、以及充要条件。
通过分析证明过程，我们还做出了进一步的推广。
这对将来解决类似问题带来很大的方便。
参考文献
【1】黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何,高等教育出版社，2008.
【2】黄廷祝，何军华，李永彬，高等代数, 高等教育出版社，2012.。