tr
tp
ts
t
具有衰减振荡的单位阶跃响应
X0(t) 0.05x0(∞) ∞ X0(∞) 0.9 或 0.05x0(∞) ∞
0.1
0 (b) 图3-27
tr
ts
t
单调变化的单位阶跃响应 稳定系统的单位阶跃响应
式中 Xmax 输出超过稳态值的最大值； X0（∞） 输出稳态值。 超调量的大小直接表示了系统的相对稳定性。此值一 般应控制在5%-35%间。 2.峰值时间tp 指输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间 3.上升时间tr 对具有衰减振荡的响应，指输出由零值上升到第一次 穿过稳态值所需的时间。 4.调节时间ts 指输出X0（t）与稳态值X0（∞）之间的偏差，达到规 定的允许范围 ，且以后不再超过此范围所需的最小时间.
第七节 二阶系统的动态响应分析
一、典型二阶系统的单位阶跃响应
通常用典型单位反馈的二阶系统，其结构形式如图328所示，作为二阶系统的模型进行分析。其传递函数的标 准形式如下 开环传递函数
G(s)=
ω
2
2 n
s +2 ns ω
式中 ξ 阻尼系数，或称相对阻尼比； ωn 无阻尼振荡角频率。 典型二阶系统的特征方程及特征根分别为 s2+2ξωns+ω2n=0 s1,2=-ξωn±ωn ξ 2 −1 当输入为单位阶跃信号时，输出的拉氏变换式为
e − ξω n t 1−ξ 2
2
x0(t)= =1-
sim(ω d t + θ )
t≥0
式中
1 − ξ = simθ , ξ = cosθ 0
图3-30给出了不同ξ值的通用响应曲线。
3.ξ=1，临界阻尼的情况 s1,2 =-ξωn为一队重负实根，在S平面的负实轴上，如 图3-31所示。
jω ω X0(t) 1
π π = T=tp= ωd ωn 1−ξ2
(3)最大超调量óp σP =
xmax − 1 − × 100% = e 1
ξπ
1，减小达到允许范围（∆χ≤5%2%），则有t=ts。
e −ξω nt 1−ξ 2
(5) 振荡次数µ
sin ω n 1 − ξ 2 t + θ = 0.05 （或0.02）
X0(s)=
1 1 1 ω 2n ω 2n − + s (s + p1 ) p1 ( p2 − p1 ) (s + p2 ) p2 ( p2 − p1 )
1 1 x0(t)=1 p e − p1t p e − p 2 t p 2 − p1 1 2
2 n
ω
其时间响应为含有两个衰减指数曲线上升、无振荡及超 调的曲线。
2.0 1.8 1.6 0.5 1.4 0.6 1.2 1.0 0.7 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2
2.0 ξ=0 0.1 0.2 0.3
0.4
1.0
3
4
5
6
7
8
9
10 11
图3-30
ξ〈1时二阶系统根的分布及阶跃响应
ωd =ωn
X0(s)=
1−ξ
2
ξω s+ξω 1 n n − − s (s+ξω)2 +(ωn 1−ξ2)2 (s+ξω)2 +(ωn 1−ξ2)2 n n
-p1,2= -ωn ω
0 ó (a)
0
t
(b) ξ=1时二阶系统的单位阶跃响应
图3-31
ωn 1 1 − − X0(s)= s s + ω n (s + ω n ) 2
X0(t)=1-e-ωnt(1+ωnt) t≥0 其时间响应为单调上升、无振荡及超调的曲线。 4.ξ<1，过阻尼的情况 s1,2 =-ξωn±ωn =-p1、-p2,为一对不相等的负实根， 在S平面的负实轴上，如图3-32所示。
Im xo(t) 1 -p1 -p2 0 Re
0 t
(a) 图3-32
(b) 过阻尼时的单位阶跃响应
二、二阶系统性能指标与系统参数的关系 在0<ξ<1时，响应为衰减振荡曲线，其性能指标可以计算 如下 (1)上升时间tr
π −θ π − arccos ξ = t=tr= ωd ωn 1−ξ 2
(2)峰值时间tp
输入单位阶跃信号时 1 1 Xi(s)= , X0(s)= Ф(s)
s
X0(t)=L-1[Ф(s) 输入单位斜坡信号时
1 ] s
s
1 1 1 Xi(s)= ,X0v(s) = Ф(s) =X0(s) 2 2 s s s
X0v(t)= . 输入单位脉冲信号时 Xi(s)=1,X01(s)= Ф(s)∫=X0(s)s
(
)
µ=
ts tf
式中
2π 2π = tf= ,为阻尼振荡周期时间。 2 ωd ω n 1 − ξ
教学内容：
第六节 控制系统的动态响应及其性能指标
自控系统在加上输入作用后，其输出在到达稳态之前 的过程称为动（暂）态过程。动（暂）态过程系统的动态响 应，一般用拉氏变换法求解而得 X0(s)=Ф(s)Xi(s) X0(t)=L-1[Ф(s)Xi(s)] 系统动态响应，不仅与系统的结构和参数有关，对不同 输入形式的信号具有不同的响应结果。
s 1 1 = - 2 2 2 2 s | +ω n s s s +ω n
ω
2 n
X0(t)=L-1[X0(s)]=1-cosωnt t≥0 时间响应为等幅振荡曲线,其振荡频率为ωn,系统不能稳 定工作. 2. 0<ξ<1 欠阻尼情况 s1,2=-ξωn±jωn=-ξωn±jωd 有一对负实部的共轭复根，在S平面上根落在虚轴的左 侧。如图3-30所示。
1 Φ (s) X0(s)= s
若ξ为不同值时，所得响应有不同的形式。
1.ξ=0，无阻尼情况 s1,2=±jwn，有一队共轭虚根，如图3-29所示。
S Im jωn ω 2
Rc -jωn ω 0
1
（a）极点分布
(b) 单位阶跃响应曲线
图3-29 无阻尼(ξ=0)时典型二阶系统的单位阶跃响应
X0(s)=
∫
t
0
x 0 ( t ) dt
X0∫(t)=
dx 0 ( t ) dt
稳态系统的阶跃响应应具有衰减振荡和单调变化两种 类型，如图3-27所示，其常用性能指标如下 1. 最大超调量（简称超调量）：
x (t) xo(t)
o
Xmax xo(∞) ( )
0.05x0(∞) ∞ 或 0.02x0(∞) ∞
0 (a)