1 = 2sin cos = sin = 12 12 6 2
π
π
π
例2.化简 2.化简
5π 5π 5π 5π ①． (sin + cos )(sin − cos ) 12 12 12 12 5π 3 2 5π 2 5π = − cos = 解 : 原式 = sin − cos 6 2 12 12
②． cos
1 + cos 2 x 1 y= + sin 2 x 2 2
2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
Q sin(2 x + ) ∈ [ −1,1] 4
2 1 2 1 ∴ y ∈ [− + , + ] 2 2 2 2
π
课堂小结
.二倍角公式 1 .二倍角公式
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − sin 2 α , 2 tan α tan 2α = . 2 1 − tan α
解 : 原式 = 1 + 2 cos 2 θ − 2 cos 2 θ + 1 = 2
例3、已知
12 π sin α = , α ∈ ( , π ) 13 2
:sin2α cos2α tan2α的值. 求:sin2α，cos2α，tan2α的值.
解: ∵ sin α =
12 π , α ∈ ( ,π ) 13 2
于是 sin4α = 2sin2α cos2α = 2×
；
5 12 120 × − = − 13 13 169
2
5 119 cos 4α = 1 − 2sin2 2α = 1 − 2 × = 13 169
120 sin 4α 120 tan 4α = = 169 = − cos 4α 119 119 169 −
5 π π sin2α = , <α < , 求: sin4α,cos4α,tan4α 的值． 的值． 变式1 变式1：已知 13 4 2
解：由 π < α < π ,
4 2
得
π
2
< 2α < π
5 , 又因为 s in 2 α = 13
2 2 2α = − 1 − 5 = − 12 cos 2α = − 1 − sin 13 13
1 2 sin 45o = 2 4
π 2 π ②．2 cos − 1 = cos = 4 2 8
2
③．sin 2 ④． 8 sin
π π π 2 − cos 2 = − cos = − 8 8 4 2
π π π π π π π cos cos cos = 4 sin cos cos 48 48 24 12 24 24 12
2.二倍角变式： 2.二倍角变式： 二倍角变式
2 cos α = 1 + 2 cos 2α
2

2sin α = 1 − cos 2α
2
3．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的. 公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的. α α 如: 是 的倍角. 的倍角. 4 8 4．应用公式解决求值、化简等问题. 应用公式解决求值、化简等问题.
二倍角的三角函数
赣州一中 高一数学备课组
探究新知 学生活动 你能否从两角和的正弦、余弦、 你能否从两角和的正弦、余弦、正切公式中 推导出二倍角公式吗? 推导出二倍角公式吗? 数学理论 二倍角公式： 二倍角公式： 二倍角公式的变形： 二倍角公式的变形：
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
1 sin 40 o cos 40 o cos 80 o = 2 sin 20 o
1 1 o o sin160o sin 80 cos80 1 =4 =8 = sin 20o sin 20o 8
1 变式: 变式:求值 sin 10° cos 20° cos 40° cos 60° = 16
x 2 cos − sin x − 1 2 5.已知 例5.已知 tan x = 2, 求 的值. 的值. sin x + cos x
谢谢各位的指导! 谢谢各位的指导!
4
α
2
− sin
4
α
2
2
解 : 原式 = (cos + sin )(cos − sin ) = cos α 2 2 2 2 1 1 − ③． 1 − tan α 1 + tan α 2 tan α 解 : 原式 = = tan 2α 2 1 − tan α
2 2 2
α
α
α
α
④． 1 + 2 cos 2 θ − cos 2θ
1 ∴ cos 2α = 3
又 π < 2α < 2π ∴
2 2 sin 2α = − 3
4 2 ∴ sin 4α = 2sin 2α cos 2α = − 9
求值：cos20°cos40°cos80° 例4. 求值：cos20°cos40°cos80°
sin 20 o cos 20 o cos 40 o cos 80 o 原式= 解:原式= sin 20 o
；
1 π 变式2: 2:已知 变式2:已知 sin( + α ) sin( − α ) = , α ∈ ( , π ), 4 4 6 2 求: sin 4α 的值. 的值.
1 π π 解：∵ = sin( + α ) cos( + α ) 6 4 4
π
π
1 π 1 = sin( + 2α ) = cos 2α 2 2 2
2
提示 :
x 2 cos − sin x − 1 cos x − sin x 2 = sin x + cos x sin x + cos x
2
1 − tan x 1 − 2 = = =3 1 + tan x 1 + 2
变式. 变式.求函数 解：
y = cos 2 x + cos x sin x
的值域. 的值域.
2 tan α tan 2α = 1 − tan 2 α
2α ≠
cos 2α = 2 cos 2 α − 1
= 1 − 2sin 2 α
1 + cos 2α cos α = 2 1 − cos 2α sin 2 α = 2
2
π
2
+ kπ ,α ≠
π
2
+ kπ
(k
∈ z)
数学应用
例1.（公式巩固性练习）求值： 1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22°30＇cos22°30＇= sin22°30＇cos22°30＇
2
5 ∴ cos α = − 1 − sin α = − 13
120 sin2α 2sinαcosα ∴sin2α = 2sinαcosα = − 169
119 cos2α cos2α= 1 − 2sin α = − 169
2
sin 2α 120 = tan2α tan2α = cos 2α 119