夫琅禾费衍射的Matlab仿真
110512班 11051057 李陟凌
夫琅禾费衍射，是认为光源和观察屏离衍射屏（孔）处于无穷远处的衍射现象。

实验装置如图：
S为单色点光源，放置在透镜L1的物方焦点处，所得平行光垂直入射到障碍物，借助于透镜L2将无穷远处的衍射图样移至L2的像方焦面上观察。

若障碍物为单缝，设缝宽度为a ，观察屏上点P与透镜L2光心连线的方位角为θ，由几何成像理论，此角正好也是相应平面波分量的方位角。

若取入射光波长为λ，透镜L2的焦距为f，根据惠更斯- 菲涅耳原理，可得单缝夫琅禾费衍射强度分布公式为：
I=I0sin2α
2
（公式1）
式中I
0为接收屏中央的强度，α=θ
2
=πasinθ
λ。

阿贝成像原理的演示实验中提及到夫琅禾费衍射，然而没有相应的演示实验装置，由此我产生了用数学软件模拟其衍射图样的想法。

根据公式1，代入λ、a、θ等值，就可以得到接收屏每一点的光强度值，调用imagesc()函数就可以得到干涉条纹样。

但这种方法只适用于单缝等简单情况。

为了模拟较复杂的二维孔洞产生的衍射图样，我查阅了资料，得到如下的方法：
设衍射屏的振幅透射系数为t(x,y)，根据菲涅耳——基尔霍夫衍射积分，若观察平面到衍射屏的距离z 满足如下近似条件：
则在单位振幅的相干平面光波照射下，可得衍射屏的夫琅禾费衍射光场复振
幅及强度分布分别为：
式中T = F[t(x,y)]表示衍射屏振幅透射系数t(x,y)的傅里叶变换。

上式表明，在单位振幅的相干平面光波照射下，夫琅禾费衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏振幅透射系数的傅里叶交换；衍射光场复振幅表达式中的相位因子并不影响观察屏上衍射图样的强度分布，若略去常系数，则衍射图样的强度分布直接等于衍射屏透射光场复振幅的傅里叶变换的模值平方。

将衍射屏制作成输入图像，用imread()函数读入，然后利用傅里叶变换函数fft2()对其进行傅里叶变换，得到其傅里叶频谱。

由函数fft2()实现的傅里叶变换频谱的直流分量位于图像的左上角，而由透镜实现的光学傅里叶变换的直流分量位于图像中心。

因此，为了得到模拟的光学傅里叶变换，需调用函数fftshift()将零频移到频谱中心。

Matlab程序如下：
用Photoshop作出2000*2000像素的衍射屏图像（图示为屏的局部），分别对单缝、圆孔、矩形孔、三角孔、双圆孔的衍射图样进行了模拟：
使用这一方法得到的单缝干涉图样基本分布在一个单像素的区域里，效果不是很理想。

然而理论上其可以定性模拟任何形状的孔产生的干涉图样，对学习过程中直观了解夫琅禾费干涉具有一定价值。

参考文献：
[1] 谢嘉宁等.夫琅禾费衍射的计算机仿真[J].大学物理.2004,23(3)
[2] 陈熙谋.光学[M].北京：北京大学出版社,2011.5。