2019-2020学年湖北省孝感市云梦县九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1. −15的倒数是（ ） A.−5B.15C.−15D.52. 下列运算正确的是（ ）A.a +a ＝a 2B.a 2⋅2a 3＝2a 6C.√6a ÷√2a =3D.(−ab 3)2＝a 2b 63. 如图，是一个长方体的三视图（单位：cm ），这个长方体的体积是（ ）A.16cm 3B.18cm 3C.22cm 3D.24cm 34. 如图，AB // CD ，CE 平分∠AED ，∠EDC ＝80∘，则∠ECD ＝（ ）A.40∘B.45∘C.50∘D.55∘5. 在平面直角坐标系中，将点P(a, b)关于原点对称得到点P 1，再将点P 1向左平移2个单位长度得到点P 2，则点P 2的坐标是（ ）A.(b −2, −a)B.(b +2, −a)C.(−a +2, −b)D.(−a −2, −b)6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，物品价格为y 钱，可列方程组为（ ） A.{8x −3=y 7x +4=y B.{y −8x =3y −7x =4C.{8x −y =37x −y =4D.{8x +3=y 7x −4=y7. 学校购回一批足球，为检测其质量，从中随机抽取8个足球，记录其质量如下表：） A.430，20B.430，200C.440，30D.440，3008. 如果m +n ＝1，那么代数式(3m+n m 2−mn +1m )⋅(m 2−n 2)的值为（ ）A.−4B.−1C.1D.49. 如图，△ABC 为等边三角形，点P 从A 出发，沿A →B →C →A 作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A. B.C.D.10. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，∠ABC ＝30∘，AC ＝6，D 是线段AB 上一个动点，以BD 为边在△ABC 外作等边△BDE ．若F 是DE 的中点，则CF 的最小值为（ ）A.6B.8C.9D.10二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分.）若代数式√x−12有意义，则x的取值范围是________．不等式2x+7≥3(x+2)的解集是________．为帮助国际社会抗击“新冠肺炎”，中国向127个国家或地区提供了防疫物资援助．据中国海关不完全统计，从3月1日至4月17日，中国对美国提供各类口罩18.64亿只．数据“18.64亿”用科学记数法表示为________．某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中68名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有________人．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45∘，测得底部C的俯角为60∘，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为328m（结果保留整数，√3≈1.732）．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90∘，C(0, −4)，AC与x轴交于点D，CD＝4AD，点A在反比例函数y=kx (x>0)的图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝________53．三、解答题（本大题共7小题，满分72分.）)−1．计算：(π−3.14)0+√2sin45∘−|−3|+(12如图，AB＝DC，BD＝CA，AC、BD交于点O，求证：BO＝CO．如图，已知矩形ABCD，用直尺和圆规进行如下操作：①以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于点E；②连接AE，DE；③以点E为圆心，以EC长为半径画弧，交AE于点F；④连接DF．根据以上操作，解答下列问题：（1）线段DF与线段AE的位置关系是________；（2）若∠ADF＝56∘，求∠CDE的度数．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有4个和3个大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上标有数字0，1，2，3，乙口袋中的小球上分别标有数字1，2，3．先从甲口袋中随机摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中随机摸出一个小球，记下数字为n．(1)请用列表法或画树状图的方法表示出所有(m, n)可能的结果；(2)规定：若m，n都是方程x2−3x+2=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−3x+2=0的解时，则小宇获胜．问他们两人谁获胜的概率大？已知关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，求a的值．为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．（1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．如图，抛物线y＝−x2+bx+c过点x轴上的A(−1, 0)和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：________；（2）过点P作PD // y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP=√2，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若2存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年湖北省孝感市云梦县九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【考点】倒数【解析】乘积是1的两数互为倒数，由此可得出答案．【解答】×(−5)=1，解：∵−15∴−1的倒数为−5．5故选A.2.【答案】D【考点】单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方二次根式的乘除法合并同类项【解析】根据整式的运算法则和二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】(A)原式＝2a，故A错误；(B)原式＝2a5，故B错误；(C)原式=√3，故C错误；3.【答案】A【考点】由三视图判断几何体【解析】根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，它的体积应该是2×2×4＝16cm3．【解答】该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个正方形形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该几何体的体积为2×2×4＝16cm3．答：这个长方体的体积是16cm 3．故选：A ．4.【答案】C【考点】平行线的性质【解析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【解答】∵ AB // CD ，∴ ∠AED ＝180∘−∠EDC ＝100∘，∵ CE 平分∠AED ，∴ ∠AEC =12∠AED ＝50∘， ∵ AB // CD ，∴ ∠ECD ＝∠AED ＝50∘．5.【答案】D【考点】坐标与图形变化-平移关于原点对称的点的坐标【解析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，点的坐标向左平移减，可得答案．【解答】由点P(a, b)关于原点对称得到点P 1，得P 1(−a, −b)，将点P 1向左平移2个单位长度得到点P 2，则点P 2的坐标是(−a −2, −b)，6.【答案】A【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】由题意可得，{8x −3=y 7x +4=y， 7.【答案】B【考点】方差加权平均数【解析】根据平均数、方差的定义直接计算即可解答．【解答】这批足球的平均质量＝(410×2+420+430+440×3+450)÷8＝430，这批足球的方差＝[2×(410−430)2+(420−430)2+(430−430)2+3×(440−430)2+(450−430)2]÷8＝200，8.【答案】D【考点】分式的化简求值【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将m+n的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】(3m+nm2−mn+1m)⋅(m2−n2)＝[3m+nm(m−n)+1m]•(m+n)(m−n)=3m+n+m−nm(m−n)⋅(m+n)(m−n)=4mm⋅(m+n)＝4(m+n)，当m+n＝1时，原式＝4×1＝4．9.【答案】B【考点】动点问题【解析】根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y不是x的一次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．【解答】当点P从B→C的过程中，根据勾股定理得AP=√AD2+PD2，则其函数图象不是一次函数，且当点P运动到BC的中点时有最小值，所以选项B符合题意，选项A不合题意．故选：B．10.【答案】C【考点】等边三角形的性质含30度角的直角三角形垂线段最短【解析】连接BF，依据等边三角形的性质，即可得到点F在∠DBE的角平分线上运动；当点D在CF上时，∠CFB＝90∘，根据垂线段最短可知，此时CF最短，最后根据CB的长即可得到CF的长．【解答】如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30∘，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90∘，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30∘，∴∠CBF＝60∘，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，∠ABC＝30∘，AC＝6，∴BC=√3AC＝6√3，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF=6√3×√32=9，二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分.）【答案】x≥1 2【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式的被开方数是非负数得到：x−12≥0．【解答】由题意，知x−12≥0．解得x≥12．【答案】x≤1【考点】解一元一次不等式【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】2x+7≥3x+6，2x−3x≥6−7，−x≥−1，x≤1，【答案】1.864×109【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】18.64亿＝1864000000＝1.864×109．【答案】1360【考点】用样本估计总体【解析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的人数所占比例即可得．【解答】=1360（人），估计该校喜欢甲图案的学生有2000×68100【答案】328．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD＝AD⋅tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD＝AD⋅tan∠CAD，再根据BC＝BD+CD，代入数据计算即可．【解答】如图，∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45∘，∴BD＝AD＝120(m)，∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60∘，∴CD＝AD⋅tan60∘＝120√3(m)，∴BC＝BD+CD＝120√3+120＝328(m)答：该建筑物的高度BC约为328米．故答案为：328．【答案】53．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝4AD和C(0, −4)可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．【解答】过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C(0, −4)，∴OC＝4，∵∠AED＝∠COD＝90∘，∠ADE＝∠CDO∴△ADE∽△CDO，∵CD＝4AD，∴AECO =DEOD=ADCD=14，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90∘，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∼△DCO，∴AEOD =BEOC，设DE＝n，则BO＝OD＝4n，BE＝9n，∴14n =9n4，∴n=13，∴OE＝5n=53，∴A(53, 1)∴k=53×1=53．三、解答题（本大题共7小题，满分72分.）【答案】原式＝1+√2×√22−3+2＝1．【考点】负整数指数幂特殊角的三角函数值零指数幂实数的运算【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简，进而求出答案．【解答】原式＝1+√2×√22−3+2＝1．【答案】证明：如图，连接BC，在△BAC和△CDB中，{AB=DC CA=BD BC=CB，∴△BAC≅△CDB(SSS)，∴∠A＝∠D，在△ABO和△DCO中，{∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=DC，∴△ABO≅△DCO(AAS)，∴BO＝CO．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】连接BC，易证△BAC≅△CDB，由全等三角形的性质可得∠A＝∠D，结合已知条件进而可再证明△ABO≅△DCO，继而可得BO＝CO．【解答】证明：如图，连接BC，在△BAC和△CDB中，{AB=DC CA=BD BC=CB，∴△BAC≅△CDB(SSS)，∴∠A＝∠D，在△ABO和△DCO中，{∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=DC，∴△ABO≅△DCO(AAS)，∴BO＝CO．【答案】垂直∠CDE的度数为17∘【考点】作图—复杂作图矩形的性质全等三角形的性质与判定【解析】（1）根据作图过程和矩形的性质可以证明△DEF≅△DEC，进而可得线段DF与线段AE的位置关系；（2）结合（1）根据∠ADF＝56∘，即可求出∠CDE的度数．【解答】DF⊥AE．理由如下：由题意：AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵矩形ABCD中，AD // BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠AED＝∠DEC，又∵EF＝EC，ED＝ED，∴△DEF≅△DEC(SAS)，∴∠DFE＝∠DCE＝90∘，∴DF⊥AE；故答案为：垂直；∵△DEF≅△DEC，∴∠FDE＝∠CDE，又∵∠ADF＝56∘∴∠FDC＝90∘−56∘＝34∘，∴∠CDE=12∠FDC＝17∘．答：∠CDE的度数为17∘．【答案】解：(1)列表如下：所有(m, n)可能的结果有(0, 1)，(0, 2)，(0, 3)，(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，共12种结果．(2)由x2−3x+2=0，得x=1或x=2，∴m，n都是方程x2−3x+2=0的解时，结果数有(1, 2)，(2, 1)两种，∴小明获胜的概率P1=212=16，若m，n都不是方程x2−3x+2=0的解时，结果数有(0, 3)，(3, 3)两种，∴小宇获胜的概率P2=212=16，∴P1=P2，故两人获胜的概率一样大．【考点】列表法与树状图法解一元二次方程-因式分解法概率公式【解析】（1）列表可得所有等可能结果；（2）解方程得出所有等可能结果，再得出符合条件的结果数，利用概率公式求解可得．【解答】解：(1)列表如下：所有(m, n)可能的结果有(0, 1)，(0, 2)，(0, 3)，(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，共12种结果．(2)由x2−3x+2=0，得x=1或x=2，∴m，n都是方程x2−3x+2=0的解时，结果数有(1, 2)，(2, 1)两种，∴小明获胜的概率P1=212=16，若m，n都不是方程x2−3x+2=0的解时，结果数有(0, 3)，(3, 3)两种，∴小宇获胜的概率P2=212=16，∴P1=P2，故两人获胜的概率一样大．【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，解得：a<3，∵a为正整数，∴a=1，2；(2)∵x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，∵x12+x22−x1x2=16，∴(x1+x2)2−3x1x2=16，∴[2(a−1)]2−3(a2−a−2)=16，解得：a1=−1，a2=6，∵a<3，∴a=−1．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】（1）根据关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2(a−1)，x1x2＝a2−a−2，代入x12+x22−x1x2＝16，解方程即可得到结论．【解答】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，解得：a<3，∵a为正整数，∴a=1，2；(2)∵x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，∵x12+x22−x1x2=16，∴(x1+x2)2−3x1x2=16，∴[2(a−1)]2−3(a2−a−2)=16，解得：a1=−1，a2=6，∵a<3，∴a=−1．甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；获利最大的进货方案是：购进甲品牌T 恤衫80件，购进乙品牌T 恤衫20件，最大利润是2400元【考点】一次函数的应用分式方程的应用一元一次不等式组的应用【解析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；（2）根据题意，可以求得购买甲种品牌的T 恤衫数量的取值范围，然后列出利润与甲种品牌的T 恤衫数量的函数关系，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．【解答】设甲品牌每件的进价为x 元，则乙品牌每件的进价为(x +30)元，120x =2×120x+30， 解得，x ＝30经检验，x ＝30是原分式方程的解，∴ x +30＝60，答：甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；设该商场购进甲品牌T 恤衫a 件，则购进乙品牌T 恤衫(100−a)件，利润为w 元， ∵ 购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，∴ a ≥4(100−a)解得，a ≥80w ＝(50−30)a +(100−60)(100−a)＝−20a +4000，∵ a ≥80，∴ 当y ＝80时，w 取得最大值，此时w ＝2400元，100−a ＝20，答：获利最大的进货方案是：购进甲品牌T 恤衫80件，购进乙品牌T 恤衫20件，最大利润是2400元．【答案】y ＝−x 2+2x +3由−x 2+2x +3＝0，得B(3, 0)，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，将点B(3, 0)，C(0, 3)代入得，{3k +b =0b =3， 解得：{k =−1b =3， ∴ 直线BC 的解析式为y ＝−x +3，设点P(x, −x 2+2x +3)，则D(x, −x +3)(0<x <3)，∴ PD ＝(−x 2+2x +3)−(−x +3)＝−x 2+3x =−(x −32)2+94．∴ 当x =32时，PD 有最大值94．∵ sin ∠BCP =√22，点P 在第一象限， ∴ ∠BCP ＝45∘，∵ B(3, 0)，C(0, 3)，∴ OC ＝OB ，∴ △BOC 是等腰直角三角形，∴ ∠OBC ＝∠OCB ＝45∘，∴ ∠BCP ＝∠OCB ＝45∘，∴ CP // OB ，∴ P(2, 3)，设BQ 与y 轴交于点G ，在△CPB 和△CGB 中：2{∠PCB =∠GCB =45BC =BC ∠PBC =∠GBC， ∴ △CPB ≅△CGB(ASA)，∴ CG ＝CP ＝2，∴ OG ＝1，∴ 点G(0, 1)，设直线BQ:y ＝kx +1，将点B(3, 0)代入y ＝kx +1，∴ k =−13，∴ 直线BQ:y =−13x +1，联立直线BQ 和二次函数解析式{y =−13x +1y =−x 2+2x +3 ， 解得：{x =−23y =119或{x =3y =0 （舍去）， ∴ Q(−23, 119)． 【考点】二次函数综合题【解析】（1）求出C 点坐标，将A ，C 两点的坐标代入y ＝−x 2+bx +c ，求出a ，c 的值即可得到抛物线的解析式；（2）求出直线BC 的解析式为y ＝−x +3，设点P(x, −x 2+2x +3)，则D(x, −x +3)(0<x <3)，可表示PD 的长，由二次函数的性质可得出答案；（3）证明△BOC 是等腰直角三角形，得出∠OBC ＝∠OCB ＝45∘，证明△CPB ≅△CGB(ASA)，则CG ＝CP ＝2，求出G 点坐标，则直线BQ 的解析式可求出，联立直线BQ 和二次函数解析式即可得出答案．【解答】∵ A(−1, 0)，∴ OA ＝1，又∵ CO ＝3AO ，∴ OC ＝3，∴ C(0, 3)，把A ，C 两点的坐标代入y ＝−x 2+bx +c 得，{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴ 抛物线的解析式为y ＝−x 2+2x +3，故答案为：y ＝−x 2+2x +3．由−x 2+2x +3＝0，得B(3, 0)，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，将点B(3, 0)，C(0, 3)代入得，{3k +b =0b =3， 解得：{k =−1b =3， ∴ 直线BC 的解析式为y ＝−x +3，设点P(x, −x 2+2x +3)，则D(x, −x +3)(0<x <3)，∴ PD ＝(−x 2+2x +3)−(−x +3)＝−x 2+3x =−(x −32)2+94． ∴ 当x =32时，PD 有最大值94． 存在．∵ sin ∠BCP =√22，点P 在第一象限， ∴ ∠BCP ＝45∘，∵ B(3, 0)，C(0, 3)，∴ OC ＝OB ，∴ △BOC 是等腰直角三角形，∴ ∠OBC ＝∠OCB ＝45∘，∴ ∠BCP ＝∠OCB ＝45∘，∴ CP // OB ，∴ P(2, 3)，设BQ 与y 轴交于点G ，在△CPB 和△CGB 中：2{∠PCB =∠GCB =45BC =BC∠PBC =∠GBC， ∴ △CPB ≅△CGB(ASA)， ∴ CG ＝CP ＝2，∴ OG ＝1，∴ 点G(0, 1)，设直线BQ:y ＝kx +1，将点B(3, 0)代入y ＝kx +1， ∴ k =−13， ∴ 直线BQ:y =−13x +1， 联立直线BQ 和二次函数解析式{y =−13x +1y =−x 2+2x +3 ， 解得：{x =−23y =119或{x =3y =0 （舍去）， ∴ Q(−23, 119)．。