题型
1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积
2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积
容
一．微元法及其应用
二．平面图形的面积
1.直角坐标系下图形的面积
2.边界曲线为参数方程的图形面积
3. 极坐标系下平面图形的面积
三．立体的体积
1.已知平行截面的立体体积
2.旋转体的体积
四．平面曲线的弦长
五．旋转体的侧面积
六．定积分的应用
1.定积分在经济上的应用
2.定积分在物理上的应用
题型
题型I微元法的应用
题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积
题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用
自测题六
解答题
4月25日定积分的应用练习题
一．填空题
1. 求由抛物线线x x y 22
+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________
2.抛物线x y 22
=把圆82
2
≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________
3. 由曲线y x y y x 2,42
2==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3
3
1x x y -
=
相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32
=
r 相应于2
2
π
θπ
≤
≤-
上的一段弧所围成的图形面积
为 ． 6.椭圆)0,0(1
sin 1
cos b a t b y t a x ⎩⎨
⎧+=+=所围成的图形的面积为
二．选择题
1. 由曲线2
2
,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．
31 B ． 32 C ． 21 D ． 2
3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．
223a π B ． 243a π C ． 2
8
3a π D ． 23a π 3. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2a a e e -+
B ． 2
a
a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
A.dy y ⎰
2
1
ln B.
dy e e x
⎰
2
C.dy y ⎰
2
ln 1
ln D.
()d x e x
⎰-2
1
2
三．解答题
1. 求曲线2
2,2,4
x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.
2. 求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3
2
3. 已知曲线)0(2
>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为
48
9
，试求k 的值．
4. 求a 的值，使曲线)1(2
x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的
平面图形的面积最小．
5.在第一象限求曲线12
+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积
最小，并求此最小面积
6. 求椭圆1322
=+y x 与13
22
=+y x 所围公共图形的面积
7.求由下列各平面图形的面积：
（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=
r 与θ2cos 2=r 的公共部分
8. 求由下列曲线所围区域的面积:(②,③,④图应补全)
①摆线
)
0(sin ,cos 33>==a t a y t a x ; ②
431,t y t t x -=-=;
③⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈==2,0,sin ,cos 4
4
πt t y t x ; ④3
222,2t t y t t x -=-=.
4月26日定积分的应用练习题
基础题：
1. 由曲线x y sin =和它在2
π=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积是
__________,以及它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为__________
2. 星形线t a x 3
cos =，t a y 3
sin =的全长为________
3. 由抛物线2
x y =及x y =2
所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体
积为__________
4. 半立方抛物线()32
132
-=
x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度为__________ 5. 轴与求抛物线x x x y 2
2-=所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为___________
6. 由3
,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积分别为
______________
7.由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为
（ ）
A ． π16
B ． π32
C ． π8
D ． π4
8. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2a a e e -+
B ． 2
a
a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 9． 水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）
A ． 245kN
B ． 245N
C ． 205．8N
D ． 205．8kN
10．.（1）由曲线x y x y =
=,2
所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积
为 ．
（2）由双曲线x
y 1
=
和直线1,-=-=x e x 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．
（3）曲线3
3
1x x y -
=
相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． (4) 曲线16)5(2
2=-+y x 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ．
11. 如右图，阴影部分面积为（ ） A ．[()()]b
a f x g x -⎰d x
B ．[()()][()()]c
b
a
c
g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]b
b
a
c
f x
g x dx g x f x -+-⎰⎰d x
D ．[()()]b
a
g x f x +⎰d x
12.如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2
向点A (2,4)移动，
记直线OP 、曲线y ＝x 2
及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．
13. 求曲线x y =
()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线
x y =所围成的平面图形的面积最小
14. 曲线2
22x y -=和21x y -=围成一平面图形．求
(1)该平面图形的面积．
(2)将该平面分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积． 15. 求曲线)20()cos (sin )
sin (cos π≤≤⎩
⎨
⎧-=+=t t t t a y t t t a x 的弧长
16. 一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m ，深2m ，长8m ．要把满池水全部抽到距水池上方20m 的水塔中，问需要做多少功？
17. 有一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。
18．设1D 是由抛物线2
2x y =和直线0y ,a x ==所围成的平面区域，2D 是由抛物线
22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：
（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V .
（2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.
19．设平面图形由曲线2
x y =，22x y =与直线1=x 所围成.
（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.
20．设由抛物线2
(0)y x x =≥，直线2
(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2
(0)y x x =≥，直线2
(01)
y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另
12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。