1 {T } T [ K ]{T } − {T } T {P } U = ∑U = t t 2
∂U = 0 ∂{T }
[K t ] = ∑ {kt}
e
e
[K t ]{T} = {Pt}
{T}={T1、T2、T3、…Tn}T
{Pt} = ∑ {pt}e
e
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有限元分析与建模
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有限元分析与建模
Finite Element Analysis and Modeling
• Convection condition(the third)
∂T λ ∂n
( )
Γ
+ α(T − Tm) = 0
α —— coefficient of convection
2
( )
(
)
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Finite Element Analysis and Modeling
U =
e
Ω
λ ∂T ∫∫e 2 ∂x
( )
2
+ ∂T d x d y + ∫ 1 αT 2 − αTmT − q0T d s ∂y 2 e Γ
热传导方程及热边界条件
1. Equation of heat conduction
Conduction (传导 传导) 传导
Heat transfer
Convection (对流 对流) 对流 Radiation (辐射 辐射) 辐射
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T (x，y) = N iTi + N jT j + N mTm = [N ]T {T}e
Temperature interpolation function
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Finite Element Analysis and Modeling
2.2、Element temperature matrix 、
δU = 0
λ ∂T ∂n
( )
Γ
+ α(T − Tm) − q0 = 0
∂T 2 ∂T 2 λ 1 2 U (T ) = ∫∫ + d A + ∫ αT − αTmT − q0T d s 2 ∂x ∂y 2 Ω Γ
Isotropic: λx =λy = λz Plane:
∂T =0 ∂z
∂ 2T + ∂ 2T = 0 ∂x2 ∂y2
(
)
(
) (
)
General description
∂T Stead state: ρc =0 ∂t
No internal q =0 i heat source:
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e [ kt ]2 = ∫ α [ N ][ N ]T d s ij
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e U e = U 1e + U 2 e e = 1 {T } eT [ k t ]1 {T } e + 1 {T } eT [ k t ] 2 {T } e − {T } eT {p t } e 2 2 e e = 1 {T } eT ([ k t ]1 + [ k t ] 2 ){T } e − {T } eT {p t } e 2 ∂U e = 0 {T}e ∂
Tm —— temperature of medium
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∂T λ ∂n
α=0
( )
Γ
+ α(T − Tm) − q0 = 0
λ ∂T ∂n
Uniform thermal boundary condition
3、Assembly of Global Matrix 、
[kt ]e
{pt }
e
[K t ] = ∑ {kt}e
e
{Pt} = ∑ {pt}e
e
[K t ]{T} = {Pt}
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e
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5、Form Temperature Load 、
∆T
∆l = α t ∆Tl
∆ l = α ∆T εt = t l
ε xt = ε yt = ε zt = α t ∆T ν xyt = ν yzt = ν zxt = 0
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T0 ( x, y )
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•Flux condition(the second)
∂T λ ∂n
( )
Γ
= q0
n —— normal，flux direction q0—— known flux
2
e U2
( )
(
)
U
e 1
T (x，y ) = [N ] {T }
T
e
U1e
1 {T}eT [k ]e{T}e = t 1 2
1 eT e e eT e U = {T } [kt ]2 {T } − {T } {pt } 2
e 2
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2.1、temperature function 、
T (x, y) = α 1 + α 2x + α 3y
Substituting temperature and coordinates of each node into the equation above
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第八章 热分析有限元法
FEM of Thermal Analysis
When: purpose:
high temperature 1. Temperature distribution 2. Thermal deformation Thermal stress
( )
Γ
= q0
α →∞
q0=0
T=Tm
∂T λ + α (T − Tm ) = 0 ∂n Γ
α=q0=0
( )
∂T ∂n
Γ
=0
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∂ 2T + ∂ 2T = 0 2 2 ∂x ∂y
bi2 + ci2 e [ kt ]1 = λt bjbi + cj ci 4A bm bi + cm ci
bi bj + ci cj b2 + c2 j j bm bj + cm c j
bi bm + ci cm bjbm + c j cm 2 2 bm + cm
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第一节 热传导方程及热边界条件 第二节 热分析有限元法的一般步骤
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[kt ] {T} = {pt}
e e
e
Element equation
[kt ] =
e
e [kt ]1
e + [kt ]2
{pt}e = ∫ [N](αTm + q0) d s
ij
Property matrix
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2. Thermal boundary conditions
——Interaction with outside • Temperature condition(the first)
• Flux condition(the second) • Convection condition(the third)
Temperature distribution
温度场
T=T(x,y,z)
Stead state
T=T(x,y,z,t)
Transient state
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