图形的相似
第一部分知识梳理
1. 对应边成比例，对应角都相等的两个多边形相似。

相似多边形的对应边之比叫做相似比。

2. 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
3. 相似三角形的判定方法：
①三边对应成比例的两个三角形相似。

②两个角对应相等的两个三角形相似。

③两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似。

4. 判定三角形相似，一般先找等角，当难发现等角或仅能判定一组等角时，则应转向证明边对应成比例。

5. 相似三角形几种基本类型：
①平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC
②相交线型：常见的有如下四种情形，
如图（1）（2），已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC
如下图（3），已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB
如下图（4），已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC
（1）（2）（3）（4）
③旋转型：如图（5）已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形．
④母子型：如图（6）已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
B C
A
D
E
A
B
C
D
（5） （6）
第二部分 精讲点拨
考点1.多边形相似
【例1】已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且A 1B 1:B 1C 1:C 1D 1:D 1A 1=7:8:11:14，若四边形ABCD 的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长． 变式1 下列说法正确的是（ ）
A ．所有的平行四边形都相似
B ．所有的矩形都相似
C ．所有的菱形都相似
D ．所有的正方形都相似
变式2 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α、
β的大小和EH 的长度x 。

考点2. 相似三角形
【例2】下列说法正确的是（ ）
A ．全等三角形一定相似
B ．相似三角形一定全等
C ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似
D ．两个等腰直角三角形不一定相似
变式1 △ABC 的三条边之比为2：5：6，与其相似的另一个△A ′B ′C ′最大边长为15cm ，则另两边长的和为 ．
变式 2 已知：在△ABC 中，三边长分别为2，10，2，△A ’B ’C ’
的两边长分别为1，5，若△
ABC ∽△A ’B ’C ’，则△A ’B ’C ’
的第三边长为（ ）
A ．2
2
B ．２
C ．2
D ．２2
考点3. 相似三角形的判定 【例3】根据下列条件，判断与是否相似，并说明里由：
(1)
，，；
，，
(2)，，；
，，
变式1 在△ABC 中，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，求证：△ABC ∽△AEF 。

变式2 已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD
变式3 如图在Rt △ABC 中，AD ⊥BC 于D 。

（1）求证：△BAC ∽△BDA ∽△ADC
（2）求证：CD BD AD ⋅=2；BC BD BA ⋅=2；CB CD CA ⋅=2
（3）已知：BD=6，CD=3，求AD 、AB 、AC ； （4）已知：AC=6，BD=9，求BC 、AB 、AD 。

考点四.探究创新
【例5】 如图，∠ACB ＝∠ADC ＝900
，AC ＝6，AD ＝2。

问当AB 的长为多少时，这两个直角三 角形相似？
A
B C
D
变式 已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ， 是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；若不存 在，请说明理由。

第三部分 过关检测
【基础闯关】
1. 关于相似多边形的下列叙述正确的是（ ）
A.对应边相等的多边形叫做相似多边形
B.多边形的边数不等时也可以相似
C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形
D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A.锐角三角形都相似
B.直角三角形都相似
C.等腰三角形都相似
D.等边三角形都相似
3. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连结DE ，交AC 于G ，交BC 于F ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对。

A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
4. 如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则:ADE ABC S S =△△（ ） A ． 1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ． 2∶3
5. 如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB
CD BC
=； ④2
AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
A
D
B
C
E
F
G
6. 把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的长与宽之比是 。

7. 在直角坐标系中，已知A （－3，0）、B （0，－4）、C （0，1），过C 点作直线l 交x 轴于D ，使得以点D 、C 、O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线有 条。

8．一个钢筋三角架长分别为20cm 、50 cm 、60 cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm 和50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。

9. 如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由. (2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.
10. 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPCB ； (2)当ΔPCB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.
第四部分 中考链接
1、已知：Rt OAB △在直角坐标系中的位置如图所示，(34)P ，为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB △分割成两部分．
问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB △相似？
（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．
第1题图
1 A
B
y
C
P
x
1
2．在Rt ABC △中，902BAC AB AC ∠===，， 点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠= （A D E ，，按逆时针方向）
． （1）如图1，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ． ①求证：ABD DCE △∽△；
②当ADE △是等腰三角形时，求AE 的长．
（2）①如图2，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由； ②如图3，若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE △是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．
3、一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。

将数学对象分为不同种类的数学思想叫“分类”
的思想。

将事物分类，然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法。

请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题： 如图，在ABC ∆中，ACB ∠>ABC ∠
（1）若BAC ∠是锐角,请探索在直线AB 上有多少个点D ，能保证ACD ∆∽ABC ∆（不包括全等） （2）请对BAC ∠进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB 上能保证ACD ∆∽ABC ∆（不包括全等）
的点D 的个数。

45
A
B D
C
E
第25题图1
45
45
C
D
B A
E
E '
C
A
B
D
E
第2题图2
第2题图3
A
B
C。