3. 目标规划模型
s.t. gu (X ) 0 hv (X ) 0
u 1, 2, , m v 1, 2, , p n
这是另一类多目标最优化模型。与前面二种 模型不同的是，这类模型并不是考虑对各个 目标进行极小化或极大化，而是希望在约束
2.分层多目标最优化模型
条件的限制下，每一个目标都尽可能地接近
第二优先层——, F12 (X ),Fl22 (X );
min F2 ( X )
min Ft ( X )
第L优先层——
F1l
(
X
),
,
Fl lL
(
X
)
在约束条件下的分层多目标优化问题记作
s.t. gu (X ) 0 u 1, 2, , m
L

min[P1
(F11
(
X
),,
这就是在给定的权系数下问题的最优解。若权系数改变，结果也就随之而变化。
2. 理想点法 理想点法也有很多种，这里介绍其中的极大模理想点法。
基本思想是，首先求出分目标函数 F1,F2,…,Ft各自的极小值 F1*, F2*, Ft*，然后确定表示各目
标函数逼近其极小值重要程度的权系数 Wi 0 i 1, 2, , t ，将原来的多目标最优化问题转化
1. 线性加权和法
这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋
予一个系数，然后相加起来构造评价函数 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。
tห้องสมุดไป่ตู้
评价函数为 Wi Fi min i 1
一般对于t>1个目标函数
i 1
F11 ( X
),
,
F1 l1
(
X
);
F12
(
X
),,
F2 l2
(
X
);,
F1l
(
X
),
,
Fl lL
(
X
)
一号品产量
a1x1 Y
l1 l2 lL t
目标规划模型为
V apprF( X ) F 0
s.t. gu (X ) 0 u 1, 2, , m hv (X ) 0 v 1, 2, , p n
工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。
为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi (i=1，2，….n)小时。
根据所给的已知条件，可以把问题中希望追求的三个目标用数量关系描述如下：
(1)加班时间 (2)总利润
n
xi T min
i 1
V min
该厂下月应安排生产计划如下
s.t. g1 ( X ) 240 3x1 0 g2 (X ) 250 2x2 0 g3 (X ) 420 4x3 0
生产1号品时间 x1=80小时； 生产2号品时间 x2=125小时；
g 4 ( X ) x1 x2 x3 208 0 0.1(x1 x2 x3 208 0)

x

f2 (x) D x|
工成矩型截面的梁。为了使钢梁满足 时除选择材料及规定热处理要求外，主要根据最
一定的规格、应力及强度条件，要求 大工作载荷、最大变形以及结构要求等来确定弹
其高度不超过H，截面惯性矩不小于W， 簧的钢丝直径d, 弹簧中径D以及工作圈数n。
横截面的高度介于其宽度及4倍宽度的 之间。问如何确定钢梁的尺寸，可使 它的重量最轻，并且成本最低。
F1 l1
(
X
)),,
PL
(F1l
(
X
),,
Fl lL
(
X
))]
hv (X ) 0 v 1, 2, , p n
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表
也可以用向量形式表示成
示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。
V min F(X ) F1(X ), F2 (X ),, Ft (X )T
x1, x2 , x3, T 80, 125, 105, 10.2T
3. 权系数的确定
权系数的选择至关重要
1)如果已知各目标函数值的变化范围为 i Fi (X ) i i 1, 2, ,，t 或难以估计目标函数
的上下限时，也可以取下限值为零，上限值为i Fi (X 0 )，则称 Fi (i i ) / 2 i 1, 2, , t
第七章 多目标函数的优化设计方法
7.1 多目标最优化数学模型
在实际的机械优化设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最 优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设 计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。
7.1.1 问题举例
图7.1两目标最优解的解集
因为能得到象1点这样理想解的情况极少，非劣解就成为有效解了。然而，非劣解往往不 止一个，多目标最优化的解一般需从满足条件的多个非劣解中产生。
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
设 所设计的梁横截面的高为x1,宽为x2
解 设计变量 X d D nT x1 x2 x3 T
目标函数
S 0 0.751
疲劳安全系数
2
0 --弹簧材料的脉动疲劳极限 ；
目标为 (1) 重量最轻 x1x2 min
1 2 --最大、最小交变载荷F1,F2产生的切应力 W ( / 4)d 2 (D)ng 1.925 10 5 x12 x2 x3 重量最轻
(2)圆钢截面最小(成本最低)
V ( / 4)( D d )2 H 0 0.785 (x1 x2 )2 (0.35 x3 x2 1.5x1 ) 10 5
r 2 [( x1 )2 ( x2 )2 ] min
约束条件 2 [ ]
强度约束
2
2
2d 65 d D 88
成下列单目标最优化问题
min
求解得到的最优解 X x1, x2 ,xt , T
即为原问题的最优解
s.t. gu ( X ) 0 u 1, 2, , m hv ( X ) 0 v 1, 2, , p n Wi (Fi Fi* ) , i 1, 2, , t
0.8( 15x1 14x2 12x3 4210)
0.1 3x1 240
0
求解这个单目标的线性规划问题，得
生产3号品时间 x3=105小时； 工人加班时间F1 x1 x 2 x3 208 102 小时 总利润 F2 15 x1 14 x 2 12 x3 421015万元 1号产品产量 F3 3x1 240 吨
解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
V min (x1x2 , x12 x22 )
设决策者认为成本目标比重量目标重要。因此，给相应的权系数为W1 =0.3 ,W2=0.7,
2
评价函数为
Wi Fi 0.3x1x2 0.7(x12 x22 )
i 1
用单目标优化算法可以求得最优解为 X (x1, x2 )T (1.1511, 0.7547 )T
其中 F(X ) F1(X ), F（2 X）, , Ft (X )T
F 0 F10 , F20 , , Ft0 T
符号v--appr表示逼近
7.2 多目标优化数学模型的解
多目标问题的解与单目标问题的解有根本不同的概念。 如图7.1所示的五个解1，2，3，4，5 1---绝对最优解； 2、3---非劣解； 4、5---劣解。
x1 0, x2 0 H0—自由高度；
S s S
max
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型 按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1. 多目标极小化模型
第一优先层——
F11(X ), ,
F1 l1
(
X
);
归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X )
这样可使变化快慢不同的目标函数一起调整好。
• 7.3.2 完全分层和宽容分层求解法
1)
min
f1 ( x)

f1*

x D..............
将t目标函数按重要程度排队 f1(x), f2 (x),........ ft (x)， 然后采用宽容分层序列法 .
2)
min
V minF1, F2 , F3 T x1 x2 x3 208, 15x1 14x2 12x3, 3x1T
s.t. g1( X ) 240 3x1 0 g2 (X ) 250 2x2 0 g3 (X ) 420 4x3 0 g4 ( X ) x1 x2 x3 208 0
特点是按不同的优先级分层次进行最优化。 于事先给定的各自对应的目标值。
例如上节例1中 第一优先层次——工厂获得最大利润；
例如在上节的例1中
第二优先层次——工人加班时间尽量地少；
生产总工时
n
(xi T ) T
i 1
第三优先层次——满足市场对一号品的需求。
总利润