第十章 定积分的应用 （ 8 时 ）
§1 平面图形的面积 （ 2 时 ）
一． 直角坐标系下平面图形的面积 ：
1 简单图形：-X 型和-Y 型平面图形 .
2简单图形的面积: 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线
0),(=y x F 和0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.
例1 求由抛物线 x y =2与直线 032=--y x 所围平面图形的面积.
3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[b a 上的曲边梯形的曲边由方程
b a t t y y t x ==≤≤==)( , )( , , )( , )(βχαχβαχ给出.又设0)(>'t χ,就有)(t χ↗↗, 于是存在反函数 )(1x t -=χ. 由此得曲边的显式方程 ],[ , )]([)(1b a x x y t y ∈=-χ.
⎰⎰'==-b a dt t t y dx x y S β
α
χχ)(| )( || )]([ |1, 亦即 ⎰⎰==β
α
βαχ)(| )( || |t d t y dx y S .
具体计算时常利用图形的几何特征 .
例2 求由摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所围平面图形的面积. 例3 求椭圆122
22=+b
y a x 所围平面图形的面积. 二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 )(θr r =和射线 , βθαθ==
) (βα<所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r , 顶角为θ∆的扇形面积为
θ∆221r . ) ⎰=βα
θθd r A )(212 .
例4求由双纽线 θ2cos 22a r = 所围平面图形的面积 .
解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒≥4 , 4 , 02cos ππθθ或⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ45 , 43. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为4π±的两条直线之间 ) . 以θ-代θ 方程不变⇒图形关于X 轴对称;以θπ-代θ, 方程不变, ⇒图形关于Y 轴对称. ( 参阅[1]P 24 图610- )
因此 ⎰=⋅=40
222cos 214π
θθa d a A .
Ex [1]P 242 1—6.
§2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ）
一 已知平行截面面积求体积求立体的体积:设截面面积为],[ , )(b a x x A ∈推
导出该立体之体积: ⎰=b
a
dx x A V )(.
祖暅原理: 夫叠棊成立积,缘幂势即同则积不容异.(祖暅系祖冲之之子,齐梁时人, 大 约在五世纪下半叶到六世纪初)
例1 求由两个圆柱面 222a y x =+ 和 2
22a z x =+所围立体体积 . [1]P 244 E1 ( 33
16a ) 例2 计算由椭球面 122
2222=++c
z b y a x 所围立体 (椭球 )的体积 . [1] P 342 E2 ( abc π3
4 ) 二 旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式.
⎰=b
a
dx x f V )(2π.
例3 推导高为h , 底面半径为r 的正圆锥体体积公式.
例4 求由曲线02
=-y x 和0=-y x 所围平面图形绕X 轴旋转所得立体体积.
例5 求由圆25)20(22≤-+y x 绕X 轴一周所得旋转体体积. ( 10002
π ) 例6 ,0 , :==-x e y D x X 轴正半轴 . D 绕X 轴旋转 . 求所得旋转体体积.
Ex [1]P 246 1，2，3.
§3 平面曲线的弧长 ( 1 时 )
一. 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用折线总长的极限定义弧长.可求长曲线.
二. 弧长计算公式:光滑曲线的弧长.设 :L )(t x χ=，)(t y y =，,βα≤≤t 又()())( , )(B , )( , )(ββχααχy y A ，)(t χ和)(t y 在区间],[βα上连续可导且0)()(22≠'+'t y t χ. 则 L 上以A 和B 为端点的弧段的弧长为
dt t y t s ⎰'+'=
β
αχ22)]([)]([ .
为证明这一公式,先证以下不等式:对+
∈∀R c b a ,, ,有
|| | |2222c b c a b a -≤+-+, (Ch 1 §1 Ex 第5题 (P 4) .其几何意义是:在以点),( , ),(c a b a 和)0,0(为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边.) 事实上， |||||||||||||
| | |22222222222222c b c b c b c b c b c a b a c b c a b a -=+-≤+-≤+++-=+-+. 为证求弧长公式,在折线总长表达式中, 先用Lagrange 中值定理, 然后对式)()(*22i i y ξξχ'+'插项进行估计.参阅 [1]P 247.
如果曲线方程为极坐标形式)( ], , [
, )(θβαθθr r r ∈=连续可导,则可写出其参数方程θθθθsin )( ,cos )(r y r x ==.于是
θθθθθθχβ
αβαd r r d y s ⎰⎰'+='+'=
)()()]([)]([ 2222.
例1 — 3 [1] P 249—250 E 1—3.
Ex [1] P 352 1.
§4 旋转曲面的面积 ( 1 时 )
用微元法推出旋转曲面的面积公式:曲线方程为],[ , )(b a x x f y ∈=时，
⎰'+=⇒b
a
dx x f x f )(1)(2S 2π ；曲线方程为 ],[ , )( , )(βαχ∈==t t y y t x 时，
⎰'+'=⇒β
α
χπdt t y t x y )()()(2S 22 .
例1—2 [1] P 254—255 E 1—2.
Ex [1] P 255 1—3.
§5 定积分的物理应用举例 ( 2 时 )
例1—4 [1] P 255—259 E 1—2.
Ex [1] P 259 1—10.。