o

. . .
r
17
2015-2-11
r =j ( )
+d

积分变量 [, ]
面积元素
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：
dA

o

d
.
r
1 2 dA j ( ) d 2
1
曲边扇形的面积
2015-2-11
. .
A
2
[j ( )]2 d
(3) 求和.
(4) 求极限.
b a
则 A f ( x )dx
0
a
x x+dx b x
4
这种方法通常称为 微元法或元素法 2015-2-11
可用微元法的条件
1. 若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间[a, b]上; 2. 总量U有可加性.
步 骤
(1) 求微元
局部近似得 dU = f (x)dx
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6
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 ( x ) o
x x+dx
l
x
( x ) C
关键 ( x ) 变量！
step2. 质量 M ( x)dx
x j (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ydx
a b
f ( x )dx ydx
a a
b
b

t2
t1
(t )j(t )dt.
（其中 t 1和 t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[ t 1, t 2（或 ] [ t 2 , t 1 ]） 上 x j ( t ) 具有连续导数，
2 2 2 3 3 y a x 3
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
星形线也称：圆内旋轮线
y
x [ a , a ]
a o
a x
旋转体的体积
V a x a
a 2 3
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2 3
32 3 dx a . 105
1 2
3
1
11
S a[ f上 (x) f下(x)]dx S c [j右 ( y) j左 ( y)]dy
b
d
讨论：由左右两条曲线xj左(y)
与xj右(y)及上下两条直线yd
与yc所围成的平面图形的面积
如何表示为定积分？
提示： 选积分变量, 面积元素 dA=[j右(y)j左(y)]dy, 面积 为2015-2-11
2015-2-11 9
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x x
b x
o
a x
x x
b x
曲边梯形的面积
由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
dA f ( x )dx
A2015-2-11 a f ( x )dx
y 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
2
22 yy 22 xx
选 y 为积分变量
y [2, 4]
y2 A (y 4 )dy 18. 2 2
y2 dy dA y 4 2
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4
14
A
(2) 求全量
应用方向：
微元积分得 U f ( x )dx a
b
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平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
5
微元法的实质 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确值。
y ( t )连续.
2015-2-11 15
x2 y2 例 3 求椭圆 2 2 1的面积. a b
x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 40 ydx 4 b sin td ( a cos t )
解 直线 OP方程为
r
o
h
x
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
2015-2-11 28
r 直线 OP方程为 y x h
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 的体积为
r dV x dx h
(1) 绕 x 轴旋转所得旋转体体积
dVx y dx x dx
2 4
V x 0 x
1
4
dx

5
.
(2) 绕 y 轴旋转所得旋转体体积
方 法1 V V1 (圆 柱 ) V2 (旋 转 体)
dV2 x 2 dy ydy
0 l
step1. 取微元[ x, x dx],则 dM ? ( x )dx
下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的 2015-2-11 7 一些应用。
第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 二、体积
三、平面曲线的弧长
2015-2-11
8
平面图形的面积
一、直角坐标系情形
二、极坐标系情形 三、小结 思考题
a b
b
x
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如何计算黄瓜的体积？
27
例 1 连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直线、直线 将它绕 x 轴旋 x h及 x轴围成一个直角三角形． 转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积．
y
P
r y x h 取积分变量为x ，x [0, h]
18
例4: 计算阿基米德螺线 r = a
(a > 0)
上相应于 从0 到 2 的一段弧与极轴所围成 的图形的面积.
解: 取极角为积分变量, 变化区间为[0, 2 ], 取小区间
[, + d ]，则
面积元素
1 2 dA (a ) d 2
2
2 3 2

2a o r = a x
A
f (
i 1
0
b
n
(4) 求极限. A lim
2015-2-11
f ( i ) x i
i i i 1
n
i
)x i
yБайду номын сангаас
y = f (x)


a
f ( x )dx
x0 a x1
0
1 2
i
xi 1 xi
n
3
xn1b xn
x
把上述步骤略去下标，改写为： (1) 分割. 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)， 用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 A f ( x ) dx y 面积微元 并记 dA f ( x )dx 称为面积元素 y f x
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
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2
二、极坐标系情形
曲边扇形是由曲 线rj()及射线 , 所围成 的图形
dA
d
图形是曲边扇(梯)形
r =j( )
+d
如何化不规则 为规则
以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素：
d
1 2 解 dA a (1 cos )2 d 2
利用对称性知
1 2 A 2 a (1 cos ) 2 d 2 0 2 a (1 2 cos cos 2 )d
0
2a
心形线也称圆外旋轮线
a
2


0
3 2 a . 2 2015-2-11
b
dA [ f 2 ( x) f1 ( x)]dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
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例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 1) 求出两抛物线的交点.
2 y x 解方程组 2 x 0, x 1 y x
3 1 ( 2 cos cos 2 )d 2 2
21
r 2 sin 例6 求 2 所 围 如 图 所 示 图 形 的积 面。 r cos2 y 2 求交点 2 sin cos2
6
6
y
d

o
1 dS1 2
x
2 sin
2015-2-11
2
回顾
曲边梯形面积 A f ( x )dx的计算过程：
a
b
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A
A
i 1
n
i
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成 n个部分量Ai 的和. (2) 近似. 计算Ai的近似值 A f ( )x ( x i 1 i x i ) i i i (3) 求和. 得A的近似值
30
3
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。