相互独立事件同时发生的概率
【教学目的】
1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些
事件的概率；
2．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思
想；
【教学重点】
用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
【教学难点】
互斥事件与相互独立事件的区别；
【教学用具】
投影仪、多媒体电脑等。
【教学过程】
一、提出问题
有两门高射炮，已知每一门击中侵犯我领空的美军侦察机的概率均为 0.7，
假设这两门高射炮射击时相互之间没有影响。如果这两门高射炮同时各发射一发
炮弹，则它们都击中美军侦察机的概率是多少？（板书课题）
二、探索研究
显然，根据课题，本节课主要研究两个问题：一是相互独立事件的概念，二
是相互独立事件同时发生的概率。
（一）相互独立事件
1．中国福利彩票，是由 01、02、03、…、30、31 这 31 个数字组成的，买
彩票时可以在这 31 个数字中任意选择其中的 7 个，如果与计算机随机摇出的 7
个数字都一样（不考虑顺序），则获一等奖。若有甲、乙两名同学前去抽奖，则
他们均获一等奖的概率是多少？
（1）如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少？（P= （2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少？ 1 C 1 31 ）
（如果事件 A 发生，则 P（B）= ；如果事件 B 不发生，则 P（B）= ）
（如果事件 A、B 是相互独立事件，那么，A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 都是相互独立
（如果事件 A 发生，则 P（B）= ；如果事件 B 不发生，则 P（B）= ）
（P= 1 ）
C
1
31
2．一个袋子中有 5 个白球和 3 个黑球，从袋中分两次取出 2 个球。设第 1
次取出的球是白球叫做事件 A，第 2 次取出的球是白球叫做事件 B。
（1）若第 1 次取出的球不放回去，求事件 B 发生的概率；
4 5
7 7
（2）若第 1 次取出的球仍放回去，求事件 B 发生的概率。
5 5
8 8
相互独立事件：如果事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没
有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
【思考】在问题 2 中，若设第 1 次取出的球是黑球叫做事件 C，第 2 次取出
的球是黑球叫做事件 D，则：事件 A 与 C、A 与 D、C 与 D 等是否为相互独立事件，
为什么？这个结论说明什么？
_ _ _ _
事件）。
（二）相互独立事件同时发生的概率
问题：甲坛子中有 3 个白球，2 个黑球；乙坛子中有 1 个白球，3 个黑球；
从这两个坛子中分别摸出 1 个球，假设每一个球被摸出的可能性都相等。问：
（1）它们都是白球的概率是多少？
（2）它们都是黑球的概率是多少？
（3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？
1．温故知新：因为每一个球被摸出的可能性都相等，所以 “从甲、乙两个
坛子中分别摸出 1 个球，它们都是白球” 这个事件是一个等可能事件。那么，
什么是等可能事件，它的概率如何计算呢？
2．解决问题：（1）显然，一次试验中可能出现的结果有 n= C 1 C 1 =20 个,而
5
4
这个事件包含的结果有 m= C 1C 1 =3,根据等可能事件的概率计算公式得：
3 1
P = m 3 。
1
n 20
C 1C
1
20 10
C
1
3 1
显然“从甲坛子中摸出一个球是黑球”是事件 A 的对立事件 A ，“从乙坛子
中摸出一个球是黑球”是事件 B 的对立事件 B 。同样可得：
P（ A ）=
C
1
C
1
_
②P 与 P(A) 、P(B)有何关系？P 、P 与又 P(A) 、P(B)或 P（ A ）、P( B )
C 1C
1
6 3
（2）同（1）可得：P =
2 3
2
5 4
。
（3）同理：P = 3 C 1C 1 3 3 C 1C 1 5 4 9 20 ；
3．深入研究：设“从甲坛子中摸出一个球是白球”叫做事件 A，“从乙坛子
中摸出一个球是白球”叫做事件 B； 由等可能事件的概率计算公式可得：
P(A)= C1 3 = 5 , P(B)= 1 = .
5 C
1
4
4
_
_
_
C
1
2
=
5
2 3
，P( B )= 3 = .
5 C
1
4
4
【思考】①P 、P 1 2 、P 之间有何关系？这个关系说明什么问题？
3
_ _
1 2 3
有何关系呢？
③根据以上问题，你能否归纳出一般的结论？
4．归纳结论：
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把
两个事件 A、B 同时发生记作 A·B，则有
P（A·B）= P（A）·P（B）
推广：如果事件 A ，A ，…A 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，
1 2 n
等于每个事件发生的概率的积。即：
P（A ·A ·…·A ）= P（A ）·P（A ）·…·P(A )
1 2 n 1 2 n
三、深刻理解：
1．互斥事件与相互独立事件有何区别？
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的
发生与否对另一事件发生的概率没有影响。
2．下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？为什么？
（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的面是 2 点”；
（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及
格”；
（3）在一个口袋内装有 3 个白球和 2 个黑球，则“从中任意取出 1 个球，
得到白球”与“从中任意取出 1 个球，得到黑球”；
（4）在一个口袋内装有 3 个白球和 2 个黑球，则“从中任意取出 1 个球，
得到白球”与“在剩下的 4 个球中，任意取出 1 个球，得到黑球”。
3．已知 A、B 是两个相互独立事件，P（A）、P（B）分别表示它们发生的概
率，则：1-P（A）·P（B）是下列那个事件的概率
A．事件 A、B 同时发生； B．事件 A、B 至少有一个发生；
C．事件 A、B 至多有一个发生； D．事件 A、B 都不发生；
四、熟练应用
【例】甲、乙 2 人各进行一次射击，如果 2 人击中目标的概率都是 0.6，且
相互之间没有影响，计算：
（1）2 人都击中目标的概率；
（2）2 人都没有击中目标的概率；
解：（1）P=0.6 0.6=0.36；
（2）P=（1-0.6） （1-0.6）=0.16；
【练习】
在某段时间内，甲地下雨的概率是 0.2，乙地下雨的概率是 0.3，假定在这
段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内，两地都不下雨的
概率。（0.56）
五、首尾呼应
回到本节课开始的问题：P=0.7 0.7=0.49 。
六、小结与作业
1．小结：相互独立事件，相互独立事件同时发生的概率乘法公式。
2．作业：（1）课本 P156 习题 10.7 ：1，2，3
（2）思考：相互独立事件与互斥事件的比较。（表）