第3章 自适应波束形成及算法（3.2 自适应波束形成的几种典型算法）3.2 自适应波束形成的几种典型算法自适应波束形成技术的核心内容就是自适应算法。

目前已提出很多著名算法，非盲的算法中主要是基于期望信号和基于DOA 的算法。

常见的基于期望信号的算法有最小均方误差（MMSE ）算法、小均方（LMS ）算法、递归最小二乘（RLS ）算法，基于DOA 算法中的最小方差无畸变响应（MVDR ）算法、特征子空间（ESB ）算法等[9]。

3.2.1 基于期望信号的波束形成算法自适应算法中要有期望信号的信息，对于通信系统来讲，这个信息通常是通过发送训练序列来实现的。

根据获得的期望信号的信息，再利用MMSE 算法、LMS 算法等进行最优波束形成。

1．最小均方误差算法（MMSE ） 最小均方误差准则就是滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小，求得最佳线性滤波器的参数，是一种应用最为广泛的最佳准则。

阵输入矢量为： 1()[(),,()]T M x n x n x n =（3-24）对需要信号()d n 进行估计，并取线性组合器的输出信号()y n 为需要信号()d n 的估计值ˆ()dn ，即 *ˆ()()()()H T d n y n w x n x n w === （3-25） 估计误差为：ˆ()()()()()H e n d n dn d n w x n =-=- （3-26）最小均方误差准则的性能函数为：2{|()|}E e t ξ= （3-27）式中{}E 表示取统计平均值。

最佳处理器问题归结为，使阵列输出()()T y n w X n =与参考信号()d t 的均方误差最小，即：2{|()|}MinE e t式（3-28）也就是求最佳权的最小均方准则。

由式（3-26）～（3-28）得：2*{|()|}{()()}E e t E e n e n ξ==2{|()|}2Re[]T H xd xx E d n w r w R w =-+ （3-29）其中，Re 表示取实部，并且：[()()]H xx R E x n x n = （3-30）为输入矢量()x n 的自相关矩阵。

*[()()]xd r E x n d n = （3-31）为输入矢量()x n 与需要信号()d n 的互相关矢量。

一般而言，是通过确定向量函数的梯度的零点而使该函数最小的。

一个复向量函数的梯度定义为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇--)()()()()(1010w w w w w f b f b j f a f a f M M（3-32）其中，i i i jb a w +=。

由此定义可以发现)(2)(2)(=∇=∇=∇w c cc w AwAw w H H H（3-33）关于权矢量求梯度，得到梯度算子：2((()))22w E t r RW ε∇=-+ （3-34）令梯度算子为零，可以得到最小均方误差准则下的最佳权矢量opt W 应该满足的方程为：xx opt xd R W r =式（3-34）称为正规方程（Normal Equation ）。

若xx R 满秩，则有1opt xx xd W R r -= （3-36）我们经常把此最佳权矢量称为维纳解,亦即利用MMSE 得到的阵列天线的最优权向量。

2．最小均方算法（LMS ） 最小均方算法（LMS ）是B.Widrow 和Hoff 于1960年提出的。

由于实现简单且对信号统计特性变化具有稳健性，所以应用非常广泛。

LMS 算法是基于最小均方误差准则（MMSE ）的维纳滤波器和最陡下降法提出的，约束的LMS 算法在每步迭代中对加权有约束。

无约束的LMS 算法则在每步迭代中无约束，由于未知信号方向，其利用一个参考信号更新加权。

该算法以瞬时量代替统计平均量，故只在统计平均的意义下才与最速梯度下降法等效，其解与后者相比也呈现不同程度的波动。

尽管如此LMS 算法仍以其简单的原理和较少的计算量受到重视，在自适应领域中占有重要地位。

对于实时无约束的LMS 利用参考信号计算加权向量： (1)()(())w n w n g w n μ+=-（3-37）其中μ是正常数，即步长，控制算法的收敛特性；(())g w n 是梯度的无偏估计。

2(())[|(1)|]()()2()H H MSE n E r n n Rw n n z =++-w w w 第n 步迭代后，有：()()|2()2n MSE Rw n z=∇=-W w w w（3-38）其中[()()],()z E x n r n r n =是在时刻n 得到的期望信号的估计。

注意第1n +步的阵列输出利用了第n 步所得的权向量和新的阵列数据(1)x n +，即()()(1)H y n w n x n =+。

通常将R 和z 用估计值替代，第n +1步迭代的梯度为：(())2(1)(1)()2(1(1)H g n n n n n r n =++-++w x x w x )2(1)(())n n ε*=+x w （3-39）其中(())w n ε是阵列信号与参考信号间的误差，即(())()(1)(1)H w n w n x n r n ε=+-+。

设max λ为R 的最大特征值，当max 1μλ<时，算法是稳定的，权的平均估计收敛于最佳权。

总的来说，LMS 算法是数字信号处理中最经典的算法之一。

它的主要优点就是能够稳定收敛，而且结构简单，实现方便。

但是主要缺点是收敛速率问题。

算法性能对阵列信号协方差矩阵的特征值分布很敏感，当特征值散步范围较大时（即存在一个强干扰信号或其它一些弱干扰信号），算法收敛速度很慢。

3．递归最小二乘算法（RLS ） LMS 算法的收敛依赖于R 的特征值。

在R 的特征值扩展较大时，算法收敛较慢。

这个问题在递归最小二乘算法（RLS ）中可以得到解决。

在LMS 算法中，将第n 步迭代时的步长μ用一个增益矩阵1()R n -取代，得到加权的更新为：1*()(1)()()((1))w n w n R n x n w n ε-=---（3-39）其中 000()(1)()()()()nHn k H k R n R n x n x n x k x k δδ-==-+=∑（3-40）0δ是比1小但接近于1的实数（常称为遗忘因子），用于对过去数据指数加权，使迭代趋向于降低过去取样数据的重要性。

3.2.2 基于DOA 的波束形成算法基于波达角（DOA ）估计的波束形成算法的基本思想就是需要预先知道期望信号的DOA ，从而获得其导向矢量。

根据期望信号的导向矢量，可以采取MVDR 算法、特征子空间法等进行最优波束形成。

1．最小方差无畸变响应算法（MVDR ） 采用在通信、雷达信号处理中具有重要应用的最小输出能量（minimum output energy, MOE ）准则来设计权向量w 。

采样后的信号都以离散的形式表示，考虑使N 次快拍的输出能量的平均值最小，即221111min |()|min |()|NNHn n y n n NN ===∑∑w w wx（3-41）观测信号向量()n x 的样本自相关矩阵ˆxxR 为： 11ˆ()()NHxxn n n N==∑R x x（3-42）则式（3-41）对应的准则可以变换成：21111min|()|min (()())NNHHn n y n n n NN ===∑∑w w w x xwˆmin H xxw w =wR（3-43）当N →∞时，则可以得到：2211{|()|}lim|()|NH xx N n E y n y n w R wN→∞===∑（3-44）将式（3-44）离散化后带入上式可得：2{|()|}E y n =2222221{|()|}|()|{|()|}|()|||JHH d d i i i E s n E s n θθσ=++∑w a w a w （3-45）从上式可以看出，第一项为期望信号，第二项为干扰信号之和，第三项为加性噪声项。

此时如果权向量w 满足约束条件：()()1H H d d w a a w θθ==（波束形成）（3-46）()0,(1,,)H i w a i J θ==（零陷形成）（3-47）则波束形成器将只会提取期望信号，而拒绝所有其它干扰信号。

因此，最佳波束形成器的设计变成了在上述约束条件下使输出能量{}2()E y n 最小化。

用Largange 算法求解该优化问题。

根据式（3-42）和式（3-45）构造目标函数()J w ：()[1()]H H xx d J w w R w w a λθ=+-（3-48）令()/0J ∂∂=w w ，可求得：1()opt xx d w R a λθ-=（3-49）将上式求得的opt w 代入波束形成约束条件式（3-45），可求得λ：11()()H d xx d a R a λθθ-=（3-50）再将求得的λ的值代入式（3-46），可得到最终使输出能量最小化的最佳波束形成器为：11()()()xx d optHd xx d θθθ--=R a w a R a （3-51）2．特征子空间法算法（ESB ） 设有L 个干扰以JL J θθ,,1 方向，一个期望信号以d θ方向入射到M 元阵，假设信号源数L +1<M ，重新表示阵输入矢量为：()()()()()J d d n n s n n θ=++x A J a n ()()n n =+As n（3-52）式中 1()[(),(),,()]T d L n s n J n J n =s （3-53）为期望信号和干扰信号构成的信号矢量。

1[()(),,()]d J JL θθθ=A a ,a a（3-54）为(1)M L ⨯+维方向矢量矩阵。

M M ⨯维输入矢量相关矩阵可表示为：2{()()}H H xx s E n n σ==+R x x AR A I（3-55）设(1)M L >+，则xx R 有（L +1）个大特征值和(1)M L --个等于2σ的特征值：22121>===>≥≥≥++σλλλλλM L L（3-56）相应的M 个归一化正交特性矢量1,,M q q ：1{H i j =q qji j i ≠=（3-57）式中11,,+L λλ 为信号（期望和干扰信号）产生的特征值，相应的特征矢量集11{,,}L +q q 或(1)M L ⨯+维矩阵11[,,]s L +=Q q q（3-58）称为信号子空间。

22,,σλλ=+M L 为噪声产生的特征值，相应的集2{,,}L M +q q 或2[,,]n L M +=Q q q（3-59）称为噪声子空间。