齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。 用“×”表示叉积，即
或
nx T n y nz
ox oy oz
ax ay az
Px Py Pz
非方阵相乘结果的维数发生变化
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
齐次坐标与传统坐标的关系
a x P b y cz
• • • • •
x y P z w
cos Rot( y, ) 0 sin
0 sin 1 0 0 cos
cos Rot( z , ) sin 0
sin cos 0
0 0 1
注：相对固定坐标系的旋转，变换矩阵左乘，公式为
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
纯平移
1 0 变换矩阵可表示为 T 0 变换过程为： 0
Fnew 1 0 0 0 0 1 0 0 0 d x n x 0 dy n y 1 d z nz 0 1 0 ox oy oz 0
Fobject
nx n y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
Px Py Pz 1
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知，该矩 阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由度）就 足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互独立的， 而是有约束的，约束条件为： 1、三个方向向量相互垂直； 2、每个单位向量的长度均为1。即：
例：如图所示为F坐标系位于参考坐标 系中（3，5，7）的位置，它的n轴与x轴 平行，o轴相对于y轴的角度为45度，a轴 相对于z的角度为45度。请写出该坐标的 齐次表达形式。
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
图
刚体的表示
一个刚体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该 固连的坐标系在空间表示出来。由于这个坐标系一直固连在该刚体上，所以该刚体 相对于坐标系的位姿是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么 这个刚体相对于固定坐标系的位姿也就已知了。由此可知，刚体在参考坐标系的表 示与坐标系是完全一样的。
第二讲
齐次坐标变换
主讲：吴海彬
福州大学机械工程及自动化学院
主要内容
引言 点的向量表示 单位向量 点和向量的齐次表示
坐标系的位姿
刚体的位姿 平移变换
旋转变换
一般变换 相对参考坐标系的变换
相对自身坐标系的变换
引言 (Introduction)
机器人运动学解决的基本问题：
正向运动学
逆向运动学
机器人机构
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
图、例
纯旋转
绕x轴旋转可简写成 式中
Pxyz Rot( x, ) Pnoa
也就相当于旋转变换前在固定参考坐标系的初始位置。
Pnoa
其中
0 1 Rot( x, ) 0 cos 0 sin
sin 同理 cos 0
例
0 1 0 0
ax ay az 0
特点：运动过程中姿态不变，坐标方向单位向量保持同一方向不变。
0 dx 0 dy Trans(d x , d y , d z ) 1 dz 0 1
Px n x Py n y Pz n z 1 0 ox oy oz 0 ax ay az 0
U
PU TR R P
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
纯旋转－例题
旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐标系绕参考坐标系x轴旋转90 度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换
例 特点：既有平移，又有旋转，而且可以多次。
假设坐标系（n，o，a）相对于参考坐标系（x，y，z）依次进行如下变换： 1、绕x轴旋转 角； 2、平移 l1 l2 l 3 ； 3、再绕y轴旋转 角。
1 0 H TE 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 1
cam
Tobj
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
2 2 4 1
0 1 1 0 5 TH 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0 0 5 Tcam 1 0 0 4 1 0 0 0
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的方 向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
a x b P y cz 1
2 a x P a 2 x a 2 x ax by cz by by cz cz by cz 0
a × b = ( ay bz ¯az by ) i + ( az bx ¯ax bz ) j + ( ax by ¯ay bx ) k
可用行列式表示为
a×b =
i
ax bx
j
ay by
k
az bz
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
例题
对于下列坐标系，求解所缺元素的值，并用矩阵来表示这个坐标系。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换例题
假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相同变换，但变换顺序按如下 进行，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着平移（4，-3，7）； 3、接着再绕y轴旋转90度。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
假设与上例相同的点现在进行相同的变换，但所有变换都是相对当前运动坐标 系的，具体变换如下，求变换完成后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕a轴旋转90度； 2、然后沿n、o、a轴平移（4，-3，7）； 3、接着绕o轴旋转90度。
第二章 机器人运动学
相对运动坐标系的变换与相对固定参考坐标系不同，这时需 要右乘变换矩阵而不是左乘。
相对自身的运动即是相对动坐标。
相对动坐标是指动坐标系本身相对自身的运动，而不是动坐 标系中的点相对动坐标系的运动。 如果在一个变换过程中，既有相对固定坐标系的变换，也有 相对于动坐标系的变换，则应先写出第一个变换因子，在根据 变换的具体过程，依次左乘或右乘变换因子，最后乘以被变换 的对象（点或坐标）。
Pz l3 l 4 P o sin P a cos
0 Px 1 P 0 cos y Pz 0 sin
Pn P sin o cos Pa 0
必须从原点开始变换！
Pxyz Rot( y, ) Trans(l1 , l2 , l3 ) Rot( x, ) Pnoa
注：矩阵的顺序不能变；
相对固定坐标系的平移和旋转，变换矩阵左乘。
相对坐标系的齐次矩阵
齐次变换矩阵
复合变换例题
固连在坐标系（n，o，a）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变 换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着绕y轴旋转90度； 3、接着再平移（4，-3，7）。
n x n T y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 Px Py 的逆阵为 Pz 1
变换矩阵的逆
第二章 机器人运动学
钻孔点位置的描述：
U
TE U TR RTH H TE U TP PTE
R
式中：只有 TH 是未知的，其它都可以通过传感器获得，或 本身就是已知的。因此，通过求逆阵就可以求得 RTH 。
变换矩阵的逆
求矩阵逆－例题