正常情况 当q j ( t ) = 0 奇异情况
6
定义 3.3. 1 若所有的函数 q j ( t )， j = 1, 2, L , m , 在时间 区间 t 0 , t f 上只存在有限个零点， 则对应的时间最优 上只存在有限个零点， 控制问题是正常的。 控制问题是正常的。 定义 3.3. 2 若对所有的 j = 1,2, L , m , 至少存在一个 q j ( t ) 函数，在某一段时间区 间 t1 , t 2 ⊂ t 0 , t f 上取零值，则 函数， 上取零值， 题是奇异的， 对应的时间最优控制问 题是奇异的，并把区间 t 1 , t 2 称 为奇异区间。 为奇异区间。
Gj e
[
j
j
− AT t
λ (0) = 0
]
j
12
也即
λT (0)e − At G = 0
j
( 2)
由矩阵理论可知， 奇异， 由矩阵理论可知， λ (0)有非零解的充要条件是 矩阵e − At G j 奇异， 即 det e − At G j = det e − At det G j = 0 非奇异， 因为e − At 非奇异，所以 det G j = 0，即( 2)式成立的充要条件是 G j 为奇异矩阵。因此问题 4.4.2奇异的充要条件是 G j 为奇异矩阵。 为奇异矩阵。 为奇异矩阵。
u* ( t )＝ − sgn q j ( t ) = − sgn bT ( x ( t ), t )λ ( t ) j j
{
}
{
}
j = 1,2,L , m; t ∈ t 0 , t f
[
]
5
1， * u j ( t )＝ − 1, u* ( t ) ≤ 1, j
当q j ( t ) < 0 当q j ( t ) > 0
{
}
u* ( t )＝ − sgn q j ( t ) = − sgn bT ( x( t ), t )λ ( t ) j j
{
}
{
}
j = 1,2, L , m; t ∈ t 0 , t f 因此时间最优控制的各 个分量 u* ( t )都是时间 t的分段 j
[
]
常值函数， 的诸点上， j 常值函数，在 q j ( t )＝0的诸点上， u* ( t )由一个边界值切 换到另一个边界值。 换到另一个边界值。
4.4 时间最优控制
时间最优控制也称为快 速控制或最速控制 4.4.1 一类非线性系统的时间 最优控制 问题 4.4.1
u j ( t ) ≤1
min J =
∫
tf
t0
dt ,
j = 1, 2, L m x(t0 ) = x0
& s .t . (1) x ( t ) = f ( x ( t ), t ) + B ( x ( t ), t )u( t ), ( 2 ) g ( x ( t f ), t f ) = 0
1
H ( x ( t ), u( t ), λ ( t ), t ) = 1 + λT ( t ) f ( x( t ), t ) + λT ( t ) B( x( t ), t )u( t ) 1)正则方程 ∂H = f ( x( t ), t ) + B( x ( t ), t )u( t ) ∂λ T ∂H ∂f T ( x( t ), t ) ∂ [B( x( t ), t )u( t )] & λ ( t )＝ − λ (t ) − λ (t ) =− ∂x ∂x ( t ) ∂x ( t ) & x ( t )＝ 2)边界条件 x ( t 0 ) = x0 g ( x ( t f ), t f ) = 0 ∂g T ( x( t f ), t f ) ∂x ( t f )
[ ]
11
假设问题4.4.2是奇异的，则至少存在某一时间区间[t1 , t2 ] ⊂ 0, t f ， 使得某一q j (t )满足 q j (t ) = b λ (t ) = b e
T j T j − AT t
[ ]
λ (0) = 0，对∀t ∈ [t1 , t2 ]
(1)
对q j (t ) = b e
m
j = 1,2,L , m
m
其中b j ( x(t ), t )是矩阵B的第j个列向量，于是(1)式可写为
λT (t ) B( x* (t ), t )u * (t ) = ∑ q j (t )u *j (t ) = min
j =1
u j ( t ) ≤1
∑ q (t )u
j =1 j
j
(t )
j = 1,2,L , m
Hale Waihona Puke λ (t f ) =T
µ
T T
3)1 + λ ( t f ) f ( x ( t f ), t f ) + λ ( t f ) B( x ( t f ), t f )u( t f ) = − µ
∂g( x( t f ), t f ) ∂t f
2
H ( x(t ), u (t ), λ (t ), t ) = 1 + λT (t ) f ( x(t ), t ) + λT (t ) B( x(t ), t )u (t ) 令h( x(t ), u (t ), λ (t ), t )＝ λT (t ) B( x(t ), t )u (t ) 4) 极值条件为：
9
H ( x( t ), u( t ), λ ( t ), t ) = 1 + λT ( t )[ Ax( t ) + Bu( t )] 1)正则方程 ∂H & x( t )＝ = Ax( t ) + Bu( t ) ∂λ ∂H & λ ( t )＝ − = − AT λ ( t ) ∂x 2)边界条件 x ( 0) = x0 x( t f ) = 0 3) u* ( t )＝ − sgn q j ( t ) = − sgn bT λ ( t ) j j
λT (t ) B( x* (t ), t )u * (t ) = min λT (t ) B( x* (t ), t )u (t )
u j ( t ) ≤1
(1)
设 q (t ) = B T ( x(t ), t )λ (t ) 或 q j (t ) = bT ( x(t ), t )λ (t ), j
19
适用于一般目标集。 定理 4.4.2 定理 4.4.5适用于一般目标集。 ～ 存在性定理） 定理 4.4.6 （存在性定理） 对于问题 4.4.2，若A的特征值均具有非正的 实部，那么从任意初态 转移到坐标原点的时间 最 实部， 优控制存在。 优控制存在。
20
8
4.4. 2 线性定常系统的时间最 优控制 & 问题 4.4. 2 已知线性定常系统 x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) 是完全能控的， 是完全能控的，求满足 约束 u j ( t ) ≤ 1， j = 1,2, L m 并使系统从已知初态 x ( 0 ) = x 0 转移到状态空间原点 的时间最短。 的时间最短。
连续可微， 其中 x ( t ) ∈ R n， u( t ) ∈ R m， f (⋅ )和 B (⋅ )的各元对 x ( t )和 t连续可微， 连续可微， g (⋅) ∈ R p，其各元对 x ( t f )和 t f 连续可微， t f 是状态轨线首次与 目标集相遇的时刻。 目标集相遇的时刻。 为统一起见，时间最优 控制问题的性能指标取 为积分型 为统一起见， 性能指标。 性能指标。
15
定理 4.4.3 （问题 4.4.2为正常的充分必要条件） 当且仅当m个矩阵 G j = b j M Ab j M A b j MLLM A b j ,
2
[
n −1
]
j = 1,2,L m
全部都是非奇异矩阵时，则问题 4.4.2是正常的。
16
正常问题要求 A, b j , j = 1,2, L m，都是完全能控的。 单输入完全能控的线性定常系统的时间最优控制问题 是正常的。 正常系统：满足定理4.4.3的受控系统称为正常系统。 正常系统的时间最优控制是正常的。
[
]
[ ] [ ]
[ ]
13
定理 4.4.2 问题 4.4.2为奇异的充分必要条件 当且仅当 m 个矩阵 G j = b j M Ab j M A 2 b j MLLM An −1b j ,
[
]
j = 1,2, L m
阵时， 是奇异的。 中至少有一个是奇异矩 阵时，则问题 4.4.2是奇异的。
14
T j
− AT t
q (jk ) (t ) = (−1) k e − At An −1b j 令G j
2 j T
] λ (0) = 0， k = 0,1,L, n − 1 = [b M Ab M A b MLM A b ]，则(1)式可写成矩阵形式：
T n −1
[
λ (0) = 0求导数，根据矩阵指数性质Ae At = e At A, 有
3
因各控制分量的约束是相互独立的，于是有
λT (t ) B( x* (t ), t )u * (t ) = ∑ min q j (t )u j (t )
j =1 u j ( t ) ≤1
m
4
的关系： 从而得到 u* ( t )与q j ( t )的关系： j 1， * u j ( t )＝ − 1, u* ( t ) ≤ 1, j 或 当q j ( t ) < 0 当q j ( t ) > 0 当q j ( t ) = 0
[
]
17
唯一性定理） 定理 4.4.4 （唯一性定理） 是正常的， 控制存在， 若问题 4.4.2是正常的，且时间最优 控制存在， 则最优控制必定唯一。 则最优控制必定唯一。