[最优控制习题及参考答案习题1 求通过x(0) = 1 ，x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：J = ∫(x+1)dt解：由已知条件知：t= 0 ，t = 1d由欧拉方程得：(2x) = 0dtx= Cx = Ct + C将x(0) = 1，x(1) = 2 代入，有：C= 1，C= 1得极值轨线：x(t) = t +1习题2 求性能指标：J =(x+1)dt∫在边界条件x(0) = 0 ，x(1) 是自由情况下的极值曲线。

x(t)解：由上题得：x(t) = C t+ C Array由x(0) = 0 得：C= 0∂L由= 2x(t ) = 2C= 0 t ∂于是：x(t) = 0【分析讨论】对于任意的x(0) = x，x(1) 自由。

∫ ⎩ λ=有： C = x ， C = 0 ，即： x (t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3 已知系统的状态方程为： x(t ) = x (t ) ， x (t ) = u (t )边界条件为： x (0) = x (0) = 1 ， x (3) = x (3) =0 ，1试求使性能指标 J =u (t )d t2取极小值的最优控制 u (t ) 以及最优轨线 x (t ) 。

⎩ x ⎩ 解：由已知条件知： f = ⎩ ⎩⎩⎩ u ⎩⎩Hamiton 函数： H = L + λfH = 1u + λ x+ λ u⎩λ = 0由协态方程： ⎩2⎩λ = C①得： ⎩⎩λ= −Ct + C ② ∂H由控制方程： ∂u= u + λ= 0得： u = −λ= Ct − C ③由状态方程： x = u = Ct − C得： x (t ) = 1C t − C t + C④2由状态方程： x = x得： x (t ) = 1 C t − 1C t + C t + C⑤6 2⎩ ⎩=− =− ∫⎩1⎩ ⎩0⎩将 x (0) = ⎩ ⎩ ， x (3) = ⎩0⎩ 代入④，⑤,⎩1⎩ ⎩ ⎩10联立解得： C =由③、④、⑤式得：u (t ) = 10t− 29，C = 2 ， C = C = 1 9x (t ) = 5t −t + t +1 27 x (t ) = 5t − 2t +1 9习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

J = 解： H = xe + ue + λu⎩x= u 列方程： ⎩λ= −2xe ⎩2eu + λ = 0 (x + u )edt①②③由③得， u代入①得，x 1 e λ④21e λ=−2x 1 e λ e λ =− +2将②，③代入，并考虑到 u = xx 1 e (−2xe ) + e (−2ex ) 2整理可得： x + 2x − x = 0) = u =⎩特征方程： s + 2s −1 = 0s = −1+s = −1−于是得： x (t ) = C e + C eλ(t③ −2e ①−2exλ(t ) = −2e(Cse + C s e )由 x (0) = 1 ，得： C + C = 1⑤由 λ(t ) = λ(1) = 0 得： Cse+ Cse = 0⑥⑤、⑥联立，可得 C 、C代回原方程可得 x → u（略）习题 5 求使系统： x = x ， x = u由初始状态 x (0) = x (0) = 0出发，在 t = 1 时转移到目标集1 x (1) + x (1) = 1，并使性能指标 J =∫u (t )dt2为最小值的最优控制 u (t ) 及相应的最优轨线 x (t ) 。

解： 本题 f (i)，L (i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同→方程同→通解同⎩λ= C ，λ= −Ct + C⎩⎩x = 1 C t − 1 C t + C t + C 有： ⎩ 6 2⎩x = 1 C t −C t + C ⎩2⎩⎩u = Ct −C∫⎩0⎩ x (0) = ⎩ ⎩⎩0⎩由，有： C = C = 0①由 x (1) + x (1) = 1，有：1 C– 1 C+ 1 C − C = 1 6 2 22 C −3 C = 1②3 2∂ϕ ∂ψ由 λ(1) = + ⋅γ = 0 ，ψ = x + x −1∂x ∂x⎩1⎩有： λ(1) = ⎩ ⎩ γ = 0 ⇒ λ (1) = λ (1) ⎩⎩1⎩⎩于是： C = −C + C2C = C ③3 6 ②、③联立，得： C =- 、C = -77于是： u = − 3 t + 67 7x =− 1 t + 3 t 14 7x =− 3 t + 6t 14 7习题 6 已知一阶系统： x (t ) = −x (t ) + u (t ) ， x (0) = 3（１）试确定最优控制 u (t ) ，使系统在t = 2 时转移到 x (2) = 0 ，并使性能泛函J = (1+ u )dt = min⎩ ⎩⎩ C C4（２）如果使系统转移到 x (t ) = 0 的终端时间 t 自由，问 u (t ) 应如何确定解：H = 1+ u + λu − λ x⎩x = −x + u 列方程： ⎩λ= λ ⎩2u + λ = 0由协态方程得： λ = C e ①1由控制方程： u=− Ce ②2① t1 代入状态方程： x = −x −Ce2= 2，x (2) = 0 ⇒ x (t ) = Ce – 1 C e 4⎩− 1 C = 3 ⎩ 4 ⎩⎩C e − 1 C e = 0 ⎩⎩ 412解得： C = ，e −13eC =e −1 代入②得： u (t ) =−② x (t ) = 2，t 自由6ee −1⎩− 1 C = 3 ⎩ 4 ⎩ C e – 1C e = 0 ⎩⎩⎩H (t ) = 0 ⎩ ⎩解得：C=40 − 6 =∫u (t ) = −习题 7 设系统状态方程及初始条件为x (t ) = u (t ) ， x (0) = 1试确定最优控制 u (t ) ，使性能指标1J = t + 2 u dt 为极小，其中终端时间 t 未定， x (t ) = 0 。

解： H = 1u + λu2由协态方程得： λ = 0→ λ = C ①由控制方程： u + λ = 0→ u = −C ②由状态方程： x = u =−C⇒ x (t ) = −Ct + C ③由始端： x (0) = 1→ C = 1由末端： x (t ) = 0→ −Ct +1 = 0④∂ϕ 考虑到： H (t ) =− t– ∂ψ t ⋅γ = −1∂ ∂1有： u + λu = −12 1C − C = −1 ⇒ C = 22C=⑤当C=时，代入④有：t = 1C⎩ 6当 C = −时，代入④有： t= 1= 1，不合题意，故有2C 最优控制u = −习题 8设系统状态方程及初始条件为x (t ) = x (t ) ， x (0) = 2 性能指标为x (t ) =u (t ) ，J =1∫ udtx (0) = 12要求达到 x (t ) = 0 ，试求：（1） t= 5 时的最优控制 u (t ) ；（2） t 自由时的最优控制 u (t ) ； 解：本题 f (i )，L (i )，H (i ) 与前同，故有 ⎩ ⎩λ= C ⎩λ= −Ct + C ⎩x = 1C t − 1 C t + C t + C ⎩ ⎩ 2⎩x = 1C t − C t + C ⎩ 2 ⎩⎩⎩u = Ct − C⎩2⎩⎩0⎩ ⎩C = 2 ⎩C = 1 ⎩125 25 ① 由 x (0) = ⎩ ⎩x (5) = ⎩0⎩ ，得： ⎩ C − C + 5C + C = 0⎩1⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 62 ⎩ 25C−5C + C = 0⎩⎩26 ∫ 2联立得： C = ，C = ，⇒ u = −② t 自由⎩⎩C = 1⎩ ⎩C = 2 ⎩ 1C t − 1 C t + C t + C = 0 ⎩ ⎩ 2⎩ 1C t − C t+ C = 0 ⎩ 2 ⎩ ⎩⎩H (t ) = 0联立有： C t − 2C t+ 2 = 0 ， 无论C 为何值， t 均无实解。

习题 9 给定二阶系统x (t ) = x (t ) + 1 ， x (0) = − 14 4 1x (t ) = u (t ) ， 1x (0) = −4控制约束为 u (t ) ≤ ，要求最优控制 u (t ) ，使系统在 t = t 2并使时转移到 x (t ) = 0 ，其中 t 自由。

J = u (t )dt = min解： H = u + λ x + 1λ+ λ u4⎩− 1λ λ ≤ 1 ⎩ 2 ⎩ 本题属最小能量问题，因此： u (t ) = ⎩−1λ > 1 ⎩⎩⎩ 1λ< −1⎩2⎩=− ⎩⎩λ= 0 → λ = C 由协态方程： ⎩⎩⎩λ = −λ → λ = −C t + C λ是 t 的直线函数。

当 u (t ) = − 1 λ = 1C t − 1 C时（试取） 2 2 2x (t ) = 1 C t − 1C t + C42x (t ) =1 C t − 1 C t + 1t + C t + C 124 41由始端条件 → C = C =4由末端条件 → 1 C t −1 C t+ 1 t + 1= 0 12 42 4 1 C t − 1 C t+ 1 = 0 42 4 另： H (t ) = 01联立解得： C =，C = 0，t = 39于是，λ1 t⎩λ= 1时，t < 0=−⎩ 9⎩λ= −1时，t = 9在 t 从 0 → 3 段， λ≤ 1满足条件。

故， u1 λ = 1 t2 180 1 2 3 4 t⎩−习题 10 设二阶系统x (t ) = −x (t ) + u (t ) ， x (0) = 1 x (t ) = x (t ) ， x (0) = 0控制约束为 u (t ) ≤ 1 ，当系统终端自由时，求最优控制 u (t ) ，使性能指标J = 2x (1) + x (1)取极小值，并求最优轨线 x (t ) 。

解：由题意， f ⎩−x + u ⎩ = ， ϕ = x+ x ,L = 0 ， ⇒ H = λ u − λ x + λ x ⎩ ⎩⎩ x ⎩由控制方程可得： u =⎩+1 ⎩ λ< 0 λ> 0 ⎩λ = λ − λ ⇒ λ = C e + C 由协态方程可得： ⎩⎩λ= 0 ∂ϕ ⎩2⎩⇒ λ= C由 λ(t ) = = ⎩ ⎩ ⇒ C = 1，C= e ∂x (t )⎩1⎩⎩λ = e +1 → 在t > 0的围λ > 1⇒ ⎩故： u = −1t ∈[0,1]⎩λ= 1若需计算 最优轨线 ，只需把 u = −1 代入状态 方程，可 得：⎩x (t ) = 2e −1 ⎩ ⎩ x (t ) = −2e − t + 2 ⎩⎩习题11 设系统状态方程为x(t) = x(t) ，x(0) = x∫⎩1 0⎩ ⎩0 0⎩ ⎩0⎩ ！性能指标为 J = 12x (t ) =u (t ) ，(4x +u )dt x (0) = x试用调节器方法确定最优控制 u (t ) 。